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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

(a) 경계 곡선이

x2+y2=2, x2+y2=4, y=x, y=0x^2 + y^2 = 2,\ x^2 + y^2 = 4,\ y = x,\ y = 0

인 영역 L\mathcal{L} (xyxy–평면의 제1사분면에 있는 영역)을 그리세요.

영역 L\mathcal{L} 위에서 밀도 함수가 ρ(x,y)\rho(x,y) 인 얇은 판의 질량은 다음과 같다.

M=∬Lρ(x,y) dAM =\iint _\mathcal{L} \rho(x,y)\,\mathrm{d}A (b) MM 을 극좌표계의 적분으로 나타낸 식을 구하세요. (c) 다음과 같을 때 M을 구하세요.

ρ(x,y)=2xyx2+y2\rho(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}

영어 원문 보기

(a) Sketch the region L\mathcal{L} (in the first quadrant of the xyxy–plane) with boundary curves

x2+y2=2, x2+y2=4, y=x, y=0.x^2 + y^2 = 2,\ x^2 + y^2 = 4,\ y = x,\ y = 0.

The mass of a thin lamina with a density function ρ(x,y)\rho(x,y) over the region L\mathcal{L} is given by

M=∬Lρ(x,y) dAM =\iint _\mathcal{L} \rho(x,y)\,\mathrm{d}A (b) Find an expression for MM as an integral in polar coordinates. (c) Find M when

ρ(x,y)=2xyx2+y2\rho(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}

정답·풀이 보기

(a) 영역 L\mathcal{L} 은 아래 왼쪽 그림과 같다.

그림

그림

(b) 극좌표계에서

  • 원 x2+y2=2x^2+y^2=2 는 r2=2r^2=2 또는 r=2r=\sqrt{2} 이고,
  • 원 x2+y2=4x^2+y^2=4 는 r2=4r^2=4 또는 r=2r=2 이고,
  • 직선 y=xy=x 는 rsin⁡θ=rcos⁡θr\sin\theta = r\cos\theta, 즉 tan⁡θ=1\tan\theta =1 , 또는 (제1사분면에 있는 부분은) θ=π4\theta=\frac{\pi}{4} 이고,
  • 양의 xx–축 (y=0y=0, x≥0x\ge 0)은 θ=0\theta=0 이다.

위 오른쪽 그림을 보면, L\mathcal{L} 에서

  • θ\theta 는 00 부터 π4\frac{\pi}{4} 까지 변하고,
  • 그 범위의 각 고정된 θ\theta 에 대해 rr 는 2\sqrt{2} 부터 22 까지 변한다.
  • dA\mathrm{d}A 는 r dr dθr\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta 이다.

따라서

M=∫0π/4dθ∫22dr r ρ(rcos⁡θ , rsin⁡θ)\begin{aligned} M = \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_{\sqrt{2}}^2\mathrm{d}r\ r\, \rho(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta) \end{aligned}

이다.

(c)

ρ=2xyx2+y2=2r2cos⁡θ sin⁡θr2=sin⁡(2θ)\begin{aligned} \rho = \frac{2xy}{x^2+y^2} = \frac{2r^2\cos\theta\,\sin\theta}{r^2} =\sin(2\theta) \end{aligned}

일 때

M=∫0π/4dθ∫22dr r sin⁡(2θ)=[∫0π/4sin⁡(2θ) dθ][∫22r dr]=[−12cos⁡(2θ)]0π/4[r22]22=12 4−22=12\begin{aligned} M &= \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_{\sqrt{2}}^2\mathrm{d}r\ r\, \sin(2\theta) \\ &=\left[\int_0^{\pi/4}\sin(2\theta)\ \mathrm{d}\theta\right] \left[\int_{\sqrt{2}}^2 r\ \mathrm{d}r\right] \\ &=\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{\pi/4} \left[ \frac{r^2}{2}\right]_{\sqrt{2}}^2 =\frac{1}{2}\ \frac{4-2}{2} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The region L\mathcal{L} is sketched in the figure on the leflt below.

figure

figure

(b) In polar coordinates

  • the circle x2+y2=2x^2+y^2=2 is r2=2r^2=2 or r=2r=\sqrt{2}, and
  • the circle x2+y2=4x^2+y^2=4 is r2=4r^2=4 or r=2r=2, and
  • the line y=xy=x is rsin⁡θ=rcos⁡θr\sin\theta = r\cos\theta, or tan⁡θ=1\tan\theta =1 , or (for the part in the first quadrant) θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, and
  • the positive xx–axis (y=0y=0, x≥0x\ge 0) is θ=0\theta=0

Looking at the figure on the right above, we see that, in L\mathcal{L},

  • θ\theta runs from 00 to π4\frac{\pi}{4}, and
  • for each fixed θ\theta in that range, rr runs from 2\sqrt{2} to 22.
  • dA\mathrm{d}A is r dr dθr\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta

So

M=∫0π/4dθ∫22dr r ρ(rcos⁡θ , rsin⁡θ)\begin{aligned} M = \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_{\sqrt{2}}^2\mathrm{d}r\ r\, \rho(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta) \end{aligned}

(c) When

ρ=2xyx2+y2=2r2cos⁡θ sin⁡θr2=sin⁡(2θ)\begin{aligned} \rho = \frac{2xy}{x^2+y^2} = \frac{2r^2\cos\theta\,\sin\theta}{r^2} =\sin(2\theta) \end{aligned}

we have

M=∫0π/4dθ∫22dr r sin⁡(2θ)=[∫0π/4sin⁡(2θ) dθ][∫22r dr]=[−12cos⁡(2θ)]0π/4[r22]22=12 4−22=12\begin{aligned} M &= \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_{\sqrt{2}}^2\mathrm{d}r\ r\, \sin(2\theta) \\ &=\left[\int_0^{\pi/4}\sin(2\theta)\ \mathrm{d}\theta\right] \left[\int_{\sqrt{2}}^2 r\ \mathrm{d}r\right] \\ &=\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{\pi/4} \left[ \frac{r^2}{2}\right]_{\sqrt{2}}^2 =\frac{1}{2}\ \frac{4-2}{2} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 3번우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

(x1,y1)=(3,0)(x2,y2)=(1,1)(x3,y3)=(0,1)(x4,y4)=(−1,1)(x5,y5)=(−2,0)\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}

또한 각 θ\theta 에 대해 벡터를 다음과 같이 정의하세요.

e^r(θ)=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^e^θ(θ)=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(a) 각 각 θ\theta 에 대해 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 길이, 그리고 두 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 가 이루는 각을 구하세요. e^r(θ)×e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 값을 구하세요 (e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 를 k^\hat{\mathbf{k}} 성분이 0인 3차원 벡터로 보세요). (b) 1≤i≤51\le i\le 5 인 각 ii 에 대해, xyxy 평면에 점 (xi,yi)=(ricos⁡θi , risin⁡θi)(x_i,y_i)= \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big) 와 벡터 e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 를 그리세요. 벡터를 그릴 때 벡터 e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i) 와 e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 의 시점을 (xi,yi)(x_i,y_i) 에 놓으세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 길이는 다음과 같다.

∣e^r(θ)∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1∣e^θ(θ)∣=(−sin⁡θ)2+cos⁡2θ=1\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}

e^r(θ)⋅e^θ(θ)=(cos⁡θ)(−sin⁡θ)+(sin⁡θ)(cos⁡θ)=0\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0

이므로 두 벡터는 수직이고 두 벡터가 이루는 각은 π2\frac{\pi}{2} 이다. 외적은 다음과 같다.

e^r(θ)×e^θ(θ)=det⁡[ı^ȷ^k^cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θcos⁡θ0]=k^\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta 로 정해지는 θ\theta 에 대해 다음에 주목한다.

  • 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 는 (0,0)(0,0) 에서 (x,y)(x,y) 로 향하는 벡터와 방향이 같은 단위벡터이다.
  • 벡터 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 는 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 에 수직인 단위벡터이다.
  • e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 yy 성분은 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 의 xx 성분과 부호가 같다. e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 xx 성분은 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 의 yy 성분과 부호가 반대이다.

다음은 i=1,3,5i =1,3,5 (축 위의 점)에 대한 (xi,yi)(x_i,y_i), e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 의 그림이다.

그림

다음은 i=2,4i =2,4 (축 위에 있지 않은 점)에 대한 (xi,yi)(x_i,y_i), e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 의 그림이다(축척은 다르다).

그림

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