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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

∬R21(1+x2+y2)2 dA\displaystyle \iint _{\mathbb{R}^2} \frac{1}{{(1+x^2+y^2)}^2}\ \mathrm{d}A 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∬R21(1+x2+y2)2 dA\displaystyle \iint _{\mathbb{R}^2} \frac{1}{{(1+x^2+y^2)}^2}\ \mathrm{d}A.

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극좌표를 사용한다. 적분의 정의역은

R2={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ) ∣ 0≤r<∞, 0≤θ≤2π }\mathbb{R}^2=\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)\ \big|\ 0\le r<\infty,\ 0\le\theta\le 2\pi\ \big\}

이다. 주어진 적분은 이상적분이므로, 먼저 rr 을 00 에서 임의의 R>0R>0 까지 적분한 다음 R→∞R\rightarrow\infty 일 때의 극한을 취한다. 극좌표에서 피적분함수는 1(1+x2+y2)2=1(1+r2)2\frac{1}{{(1+x^2+y^2)}^2}=\frac{1}{{(1+r^2)}^2} 이고 dA=r dr dθ\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta 이므로

∬R21(1+x2+y2)2 dA=lim⁡R→∞∫02πdθ∫0Rdrr(1+r2)2=lim⁡R→∞∫02πdθ [−12(1+r2)]0R=lim⁡R→∞2π[12−12(1+R2)]=π\begin{aligned} \iint _{\mathbb{R}^2} \frac{1}{{(1+x^2+y^2)}^2}\ \mathrm{d}A &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R\mathrm{d}r \frac{r}{{(1+r^2)}^2} \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \left[-\frac{1}{2(1+r^2)}\right]_0^R \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} 2\pi \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2(1+R^2)}\right] \\ &=\pi \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We'll use polar coordinates. The domain of integration is

R2={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ) ∣ 0≤r<∞, 0≤θ≤2π }\mathbb{R}^2=\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)\ \big|\ 0\le r<\infty,\ 0\le\theta\le 2\pi\ \big\}

The given integral is improper, so we'll start by integrating rr from 00 to an arbitrary R>0R>0, and then we'll take the limit R→∞R\rightarrow\infty. In polar coordinates, the integrand 1(1+x2+y2)2=1(1+r2)2\frac{1}{{(1+x^2+y^2)}^2}=\frac{1}{{(1+r^2)}^2}, and dA=r dr dθ\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta, so

∬R21(1+x2+y2)2 dA=lim⁡R→∞∫02πdθ∫0Rdrr(1+r2)2=lim⁡R→∞∫02πdθ [−12(1+r2)]0R=lim⁡R→∞2π[12−12(1+R2)]=π\begin{aligned} \iint _{\mathbb{R}^2} \frac{1}{{(1+x^2+y^2)}^2}\ \mathrm{d}A &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R\mathrm{d}r \frac{r}{{(1+r^2)}^2} \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \left[-\frac{1}{2(1+r^2)}\right]_0^R \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} 2\pi \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2(1+R^2)}\right] \\ &=\pi \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 2번우리말 번역

다음 각 점 (xi,yi)(x_i,y_i) 에 대해,

  • (xi,yi)=(ricos⁡θi , risin⁡θi)(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big) 를 만족하는 순서쌍 (ri,θi)(r_i,\theta_i) 를 모두 구하세요.
  • 특히, ri<0r_i<0 이고 0≤θi<2π0\le\theta_i<2\pi 이면서 (xi,yi)=(ricos⁡θi , risin⁡θi)(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big) 를 만족하는 순서쌍 (ri,θi)(r_i,\theta_i) 를 하나 구하세요.

(a) (x1,y1)=(−2,0) (x_1,y_1) = (-2,0) (b) (x2,y2)=(1,1) (x_2,y_2) = (1,1) (c) (x3,y3)=(−1,−1) (x_3,y_3) = (-1,-1) (d) (x4,y4)=(3,0) (x_4,y_4) = (3,0) (e) (x5,y5)=(0,1) (x_5,y_5) = (0,1)

다 풀었으면 정답 확인

이 풀이에서는 아래 첨자를 생략한다. 즉, rir_i 대신 rr 로, θi\theta_i 대신 θ\theta 로 쓴다. 점 (rcos⁡θ , rsin⁡θ)\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) 에서 원점까지의 거리는 다음과 같다.

r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2=∣r∣\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|

따라서 rr 은 원점까지의 거리이거나, 원점까지의 거리에 음의 부호를 붙인 값이다.

(a) (−2,0)(-2,0) 에서 원점까지의 거리는 22 이다. 따라서 r=2r=2 또는 r=−2r=-2 이다.

  • r=2r=2 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(−2,0)=(2cos⁡θ , 2sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=0, cos⁡θ=−1  ⟺  θ=nπ, n 정수 , cos⁡θ=−1  ⟺  θ=nπ, n 홀수인 정수 \begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 홀수인 정수 } \end{aligned}

  • r=−2r=-2 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(−2,0)=(−2cos⁡θ , −2sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=0, cos⁡θ=1  ⟺  θ=nπ, n 정수 , cos⁡θ=1  ⟺  θ=nπ, n 짝수인 정수 \begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 짝수인 정수 } \end{aligned}

특히 (r=−2 , θ=0)\big(r=-2\,,\,\theta= 0\big) 은 r<0r<0 이고 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=π\theta=\pi, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=π\theta=\pi, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=0\theta=0, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=0\theta=0, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다.

그림

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(b) (1,1)(1,1) 에서 원점까지의 거리는 2\sqrt{2} 이다. 따라서 r=2r=\sqrt{2} 또는 r=−2r=-\sqrt{2} 이다.

  • r=2r=\sqrt{2} 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(1,1)=(2 cos⁡θ , 2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=1/2  ⟺  θ=π/4+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

  • r=−2r=-\sqrt{2} 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(1,1)=(−2 cos⁡θ , −2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=−1/2  ⟺  θ=5π/4+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

특히 (r=−2 , θ=5π/4)\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {5\pi}/{4}\big) 는 r<0r<0 이고 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다.

그림

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(c) (−1,−1)(-1,-1) 에서 원점까지의 거리는 2\sqrt{2} 이다. 따라서 r=2r=\sqrt{2} 또는 r=−2r=-\sqrt{2} 이다.

  • r=2r=\sqrt{2} 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(−1,−1)=(2 cos⁡θ , 2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=−1/2  ⟺  θ=5π/4+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

  • r=−2r=-\sqrt{2} 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(−1,−1)=(−2 cos⁡θ , −2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=1/2  ⟺  θ=π/4+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

특히 (r=−2 , θ=π/4)\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {\pi}/{4}\big) 는 r<0r<0 이고 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다.

그림

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(d) (3,0)(3,0) 에서 원점까지의 거리는 33 이다. 따라서 r=3r=3 또는 r=−3r=-3 이다.

  • r=3r=3 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(3,0)=(3 cos⁡θ , 3 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=0, cos⁡θ=1  ⟺  θ=0+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (3,0) = \big(3\,\cos\theta\,,\,3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= 0 + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

  • r=−3r=-3 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(3,0)=(−3 cos⁡θ , −3 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=0, cos⁡θ=−1  ⟺  θ=π+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (3,0) = \big(-3\,\cos\theta\,,\,-3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= \pi + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

특히 (r=−3 , θ=π)\big(r=-3\,,\, \theta= \pi\big) 는 r<0r<0 이고 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=π\theta=\pi, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=π\theta=\pi, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=0\theta=0, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=0\theta=0, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다.

그림

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(e) (0,1)(0,1) 에서 원점까지의 거리는 11 이다. 따라서 r=1r=1 또는 r=−1r=-1 이다.

  • r=1r=1 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(0,1)=(cos⁡θ , sin⁡θ)  ⟺  cos⁡θ=0, sin⁡θ=1  ⟺  θ=π/2+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (0,1) = \big(\cos\theta\,,\,\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=1 \\ &\iff \theta= {\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

  • r=−1r=-1 이면, θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(0,1)=(−cos⁡θ , −sin⁡θ)  ⟺  cos⁡θ=0, sin⁡θ=−1  ⟺  θ=3π/2+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (0,1) = \big(-\cos\theta\,,\,-\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=-1 \\ &\iff \theta= {3\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

특히 (r=−1 , θ=3π/2)\big(r=-1\,,\, \theta= {3\pi}/{2}\big) 는 r<0r<0 이고 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=3π2\theta=\frac{3\pi}{2}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=3π2\theta=\frac{3\pi}{2}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다.

그림

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