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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

E를 포물면 z=x2+y2z = x^2 + y^2 과 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 사이에서 유계이면서 원기둥 x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1 안에 있는 영역이라 하자. 영역 EE 위에서 f(x,y,z)=(x2+y2)3/2f(x,y,z) = {(x^2 + y^2)}^{3/2} 의 적분을 구하세요.

영어 원문 보기

Let E be the region bounded between the parabolic surfaces z=x2+y2z = x^2 + y^2 and z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 and within the cylinder x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1. Calculate the integral of f(x,y,z)=(x2+y2)3/2f(x,y,z) = {(x^2 + y^2)}^{3/2} over the region EE.

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포물면 z=x2+y2z=x^2+y^2 과 z=2−x2−y2z=2-x^2-y^2 은 z=x2+y2=1z=x^2+y^2=1 일 때 만난다. 원기둥좌표를 사용하자. 그러면 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 이고, dV=r dr dθ dz\mathrm{d}V=r \ \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z 이며,

E={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ , z)) ∣ 0≤r≤1, r2≤z≤2−r2, 0≤θ≤2π }E=\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z))\ \big|\ 0\le r\le 1,\ r^2\le z\le 2-r^2,\ 0\le\theta\le 2\pi\ \big\}

이므로

∭Ef(x,y,z) dV=∫01dr∫r22−r2dz∫02πdθ r r3⏞f=2π∫01dr r4(2−r2−r2)=2π[2155−2177]=8π35\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}r\int_{r^2}^{2-r^2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r\ \overbrace{r^3}^{f} \\ &=2\pi \int_0^1\mathrm{d}r\ r^4\big(2-r^2-r^2\big) \\ &=2\pi \left[2\frac{1^5}{5}-2\frac{1^7}{7}\right] \\ &=\frac{8\pi}{35} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Note that the paraboloids z=x2+y2z=x^2+y^2 and z=2−x2−y2z=2-x^2-y^2 intersect when z=x2+y2=1z=x^2+y^2=1. We'll use cylindrical coordinates. Then x2+y2=r2x^2+y^2=r^2, dV=r dr dθ dz\mathrm{d}V=r \ \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z, and

E={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ , z)) ∣ 0≤r≤1, r2≤z≤2−r2, 0≤θ≤2π }E=\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z))\ \big|\ 0\le r\le 1,\ r^2\le z\le 2-r^2,\ 0\le\theta\le 2\pi\ \big\}

so that

∭Ef(x,y,z) dV=∫01dr∫r22−r2dz∫02πdθ r r3⏞f=2π∫01dr r4(2−r2−r2)=2π[2155−2177]=8π35\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}r\int_{r^2}^{2-r^2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r\ \overbrace{r^3}^{f} \\ &=2\pi \int_0^1\mathrm{d}r\ r^4\big(2-r^2-r^2\big) \\ &=2\pi \left[2\frac{1^5}{5}-2\frac{1^7}{7}\right] \\ &=\frac{8\pi}{35} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 10번우리말 번역

a>0a > 0 을 고정된 양의 실수라고 하자. 원기둥 x2+y2=axx^2 + y^2 = ax 와 구 x2+y2+z2=a2x^2 + y^2 + z^2 = a^2 의 안쪽에 모두 있는 입체를 생각하자. 이 입체의 부피를 구하세요.

다음을 이용해도 됩니다. ∫sin⁡3(θ)=112cos⁡(3θ)−34cos⁡(θ)+C\int \sin^3(\theta) =\frac{1}{12}\cos(3\theta) -\frac{3}{4}\cos(\theta) +C

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원기둥좌표를 사용한다. 원기둥좌표에서

  • 구 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2 은 r2+z2=a2r^2+z^2=a^2 이 되고,
  • 원기둥 x2+y2=axx^2+y^2=ax (또는 이와 동치인 (x−a/2)2+y2=a2/4(x-a/2)^2+ y^2=a^2/4)은 r2=arcos⁡θr^2=ar\cos\theta, 즉 r=acos⁡θr=a\cos\theta 가 된다.

다음은 입체를 위에서 본 모양의 그림이다.

그림

이 입체는

{ (rcos⁡θ , rsin⁡θ , z) ∣ −π/2≤θ≤π/2 , 0≤r≤acos⁡θ , −a2−r2≤z≤a2−r2 }\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ -{\pi}/{2}\le\theta\le{\pi}/{2}\,,\, 0\le r\le a\cos\theta\,,\, -\sqrt{a^2-r^2}\le z\le \sqrt{a^2-r^2}\ \big\}

이다.

대칭성에 의해, 주어진 입체의 부피는 입체

{ (rcos⁡θ , rsin⁡θ , z) ∣ 0≤θ≤π/2 , 0≤r≤acos⁡θ , 0≤z≤a2−r2 }\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le\theta\le{\pi}/{2}\,,\, 0\le r\le a\cos\theta\,,\, 0\le z\le \sqrt{a^2-r^2}\ \big\}

의 부피의 4배이다.

dV=r dr dθ dz\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z 이므로, 이 입체의 부피는

4∫0π/2dθ∫0acos⁡θdr∫0a2−r2dz r=4∫0π/2dθ∫0acos⁡θdr ra2−r2=−43∫0π/2dθ (a2−r2)3/2∣0acos⁡θ=43∫0π/2dθ [a3−(a2−a2cos⁡2θ)3/2]=4a33∫0π/2dθ [1−sin⁡3θ]=4a33[θ−112cos⁡(3θ)+34cos⁡θ]0π/2=4a33[π2+112−34]=4a33[π2−23]\begin{aligned} 4\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \int_0^{a\cos\theta} \mathrm{d}r \int_0^{\sqrt{a^2-r^2}}\mathrm{d}z\ r &=4\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \int_0^{a\cos\theta} \mathrm{d}r\ r\sqrt{a^2-r^2} \\ &=-\frac{4}{3}\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big(a^2-r^2\big)^{3/2}\Big|_0^{a\cos\theta} \\ &=\frac{4}{3}\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[a^3-\big(a^2-a^2\cos^2\theta\big)^{3/2}\Big] \\ &=\frac{4a^3}{3}\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[1-\sin^3\theta\big] \\ &=\frac{4a^3}{3}\left[\theta - \frac{1}{12}\cos(3\theta) + \frac{3}{4}\cos\theta \right]_0^{\pi/2} \\ &=\frac{4a^3}{3}\left[\frac{\pi}{2} + \frac{1}{12} - \frac{3}{4} \right] \\ &=\frac{4a^3}{3}\left[\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \right] \end{aligned}

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