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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

EE 를 위로는 구면 x2+y2+z2=2x^2 + y^2 + z^2 = 2, 아래로는 포물면 z=x2+y2z = x^2 + y^2 으로 둘러싸인 영역이라고 하자. EE 의 무게중심을 구하세요.

영어 원문 보기

Let EE be the region bounded above by the sphere x2+y2+z2=2x^2 + y^2 + z^2 = 2 and below by the paraboloid z=x2+y2z = x^2 + y^2. Find the centroid of EE.

정답·풀이 보기

구면 x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 와 포물면 z=x2+y2z=x^2+y^2 은 모두 zz축을 중심으로 한 회전에 대해 불변임을 관찰하자. 따라서 EE 는 zz축을 중심으로 한 회전에 대해 불변이고, EE 의 무게중심(질량중심)은 zz축 위에 놓인다. 그러므로 xˉ=yˉ=0\bar x=\bar y=0 이고 다음을 구하기만 하면 된다.

zˉ=∭Ez dV∭EdV\begin{aligned} \bar z = \frac{\iiint _E z\ \mathrm{d}V}{\iiint _E\mathrm{d}V} \end{aligned}

곡면 z=x2+y2z = x^2 + y^2 과 x2+y2+z2=2x^2 + y^2 + z^2 = 2 는 z=x2+y2z=x^2+y^2 이고

z+z2=2  ⟺  z2+z−2=0  ⟺  (z+2)(z−1)=0z+z^2=2 \iff z^2+z-2=0 \iff(z+2)(z-1)=0

일 때 만난다. z=x2+y2≥0z=x^2+y^2\ge 0 이므로 두 곡면은 원 z=1z=1, x2+y2=2x^2+y^2=2 에서 만난다. 따라서

E={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, x2+y2≤z≤2−x2−y2 }E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\le z\le \sqrt{2-x^2-y^2}\ \big\}

이다.

다음은 EE 의 y=0y=0 단면의 개략도이다.

그림

두 적분을 구하기 위해 원기둥좌표를 사용하자. 원기둥좌표에서

  • E={ (rcos⁡θ,rsin⁡θ,z) ∣ 0≤r≤1, 0≤θ≤2π, r2≤z≤2−r2 }E = \big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ \big|\ 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ r^2\le z\le \sqrt{2-r^2}\ \big\} 이고,
  • dV\mathrm{d}V 는 r dr dθ dzr\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z 이다.

따라서 n=0,1n=0,1 에 대해 (두 적분을 동시에 계산해 보자)

∭Ezn dV=∫01dr∫02πdθ∫r22−r2dz r zn=2π∫01dr r{2−r2−r2(n=0 일 때)12(2−r2−r4)(n=1 일 때)\begin{aligned} \iiint _E z^n\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{r^2}^{\sqrt{2-r^2}} \mathrm{d}z\ r\ z^n \\ &=2\pi\int_0^1\mathrm{d}r \ r\begin{cases} \sqrt{2-r^2}-r^2 & \text{(}n=0\text{ 일 때)}\\ \frac{1}{2}\big(2-r^2-r^4\big) & \text{(}n=1\text{ 일 때)}\end{cases} \end{aligned}

이다.

∫01dr r2−r2=[−13(2−r2)3/2]01=13(22−1)\begin{aligned} \int_0^1 \mathrm{d}r\ r\sqrt{2-r^2} &=\left[-\frac{1}{3}(2-r^2)^{3/2}\right]_0^1 =\frac{1}{3}\big(2\sqrt{2}-1\big) \end{aligned}

이므로

∭Ezn dV=2π{13(22−1)−14(n=0 일 때)12−18−112(n=1 일 때)}=2π{232−712(n=0 일 때)724(n=1 일 때)\begin{aligned} \iiint _E z^n\ \mathrm{d}V =2\pi\left.\begin{cases} \frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)-\frac{1}{4} &\text{(}n=0\text{ 일 때)}\\ \frac{1}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{12} &\text{(}n=1\text{ 일 때)}\end{cases}\right\} =2\pi\begin{cases} \frac{2}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{12} &\text{(}n=0\text{ 일 때)}\\ \frac{7}{24} &\text{(}n=1\text{ 일 때)}\end{cases} \end{aligned}

이고, xˉ=yˉ=0\bar x=\bar y=0 이며

zˉ=∭Ez dV∭EdV=724232−712=7162−14≈0.811\begin{aligned} \bar z =\frac{\iiint _E z\ \mathrm{d}V}{\iiint _E\mathrm{d}V} =\frac{\frac{7}{24}}{\frac{2}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{12}} =\frac{7}{16\sqrt{2}-14} \approx 0.811 \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Observe that both the sphere x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 and the paraboloid z=x2+y2z=x^2+y^2 are invariant under rotations around the zz–axis. So EE is invariant under rotations around the zz–axis and the centroid (centre of mass) of EE will lie on the zz–axis. Thus xˉ=yˉ=0\bar x=\bar y=0 and we just have to find

zˉ=∭Ez dV∭EdV\begin{aligned} \bar z = \frac{\iiint _E z\ \mathrm{d}V}{\iiint _E\mathrm{d}V} \end{aligned}

The surfaces z=x2+y2z = x^2 + y^2 and x2+y2+z2=2x^2 + y^2 + z^2 = 2 intersect when z=x2+y2z=x^2+y^2 and

z+z2=2  ⟺  z2+z−2=0  ⟺  (z+2)(z−1)=0z+z^2=2 \iff z^2+z-2=0 \iff(z+2)(z-1)=0

Since z=x2+y2≥0z=x^2+y^2\ge 0, the surfaces intersect on the circle z=1z=1, x2+y2=2x^2+y^2=2. So

E={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, x2+y2≤z≤2−x2−y2 }E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\le z\le \sqrt{2-x^2-y^2}\ \big\}

Here is a sketch of the y=0y=0 cross section of E.

figure

Let's use cylindrical coordinates to do the two integrals. In cylindrical coordinates

  • E={ (rcos⁡θ,rsin⁡θ,z) ∣ 0≤r≤1, 0≤θ≤2π, r2≤z≤2−r2 }E = \big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ \big|\ 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ r^2\le z\le \sqrt{2-r^2}\ \big\}, and
  • dV\mathrm{d}V is r dr dθ dzr\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z

so, for n=0,1n=0,1 (we'll try to do both integrals at the same time)

∭Ezn dV=∫01dr∫02πdθ∫r22−r2dz r zn=2π∫01dr r{2−r2−r2if n=012(2−r2−r4)if n=1\begin{aligned} \iiint _E z^n\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{r^2}^{\sqrt{2-r^2}} \mathrm{d}z\ r\ z^n \\ &=2\pi\int_0^1\mathrm{d}r \ r\begin{cases} \sqrt{2-r^2}-r^2 & \text{if }n=0 \\ \frac{1}{2}\big(2-r^2-r^4\big) & \text{if }n=1 \end{cases} \end{aligned}

Since

∫01dr r2−r2=[−13(2−r2)3/2]01=13(22−1)\begin{aligned} \int_0^1 \mathrm{d}r\ r\sqrt{2-r^2} &=\left[-\frac{1}{3}(2-r^2)^{3/2}\right]_0^1 =\frac{1}{3}\big(2\sqrt{2}-1\big) \end{aligned}

we have

∭Ezn dV=2π{13(22−1)−14if n=012−18−112if n=1}=2π{232−712if n=0724if n=1\begin{aligned} \iiint _E z^n\ \mathrm{d}V =2\pi\left.\begin{cases} \frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)-\frac{1}{4} &\text{if }n=0 \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{12} &\text{if }n=1 \end{cases}\right\} =2\pi\begin{cases} \frac{2}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{12} &\text{if }n=0 \\ \frac{7}{24} &\text{if }n=1 \end{cases} \end{aligned}

and xˉ=yˉ=0\bar x=\bar y=0 and

zˉ=∭Ez dV∭EdV=724232−712=7162−14≈0.811\begin{aligned} \bar z =\frac{\iiint _E z\ \mathrm{d}V}{\iiint _E\mathrm{d}V} =\frac{\frac{7}{24}}{\frac{2}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{12}} =\frac{7}{16\sqrt{2}-14} \approx 0.811 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.5절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서 경계가 직교좌표로 주어진 입체 EE 의 부피를 구하세요.

E={(x,y,z)∣x2+y2+z2−2z≤0,x2+y2≤z}E=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2z\le 0,\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\le z\}

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

π\pi

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