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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

구면좌표를 직교좌표로 변환하세요.

(a) ρ=1\rho=1, θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}, φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6} (b) ρ=2\rho=2, θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}

영어 원문 보기

Convert from spherical to Cartesian coordinates.

(a) ρ=1\rho=1, θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}, φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6} (b) ρ=2\rho=2, θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}

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(a)
(b)
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(a) ρ=1\rho=1, θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}, φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6} 에 대응하는 직교좌표는 다음과 같다.

x=ρsin⁡φcos⁡θ=sin⁡π6cos⁡π3=(12)(12)=14y=ρsin⁡φsin⁡θ=sin⁡π6sin⁡π3=(12)(32)=34z=ρcos⁡φ=cos⁡π6=32\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4} \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\sqrt{3}}{4} \\ z&=\rho\cos\varphi =\cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

(b) ρ=2\rho=2, θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} 에 대응하는 직교좌표는 다음과 같다.

x=ρsin⁡φcos⁡θ=2sin⁡π2cos⁡π2=0y=ρsin⁡φsin⁡θ=2sin⁡π2sin⁡π2=2z=ρcos⁡φ=2cos⁡π2=0\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} =0 \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} =2 \\ z&=\rho\cos\varphi =2\cos\frac{\pi}{2} =0 \end{aligned}

다음과 같이 관찰하여 구할 수도 있다.

  • φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} 이므로 점은 xyxy평면 위에 있고, 따라서 z=0z=0 이다.
  • ρ=2\rho=2, θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} 이므로 점은 양의 yy축 위에 있고 원점으로부터의 거리가 22 이므로 (0,2,0)(0,2,0) 이다.
원본 교재 풀이(영어)

(a) The Cartesian coordinates corresponding to ρ=1\rho=1, θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}, φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6} are

x=ρsin⁡φcos⁡θ=sin⁡π6cos⁡π3=(12)(12)=14y=ρsin⁡φsin⁡θ=sin⁡π6sin⁡π3=(12)(32)=34z=ρcos⁡φ=cos⁡π6=32\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4} \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\sqrt{3}}{4} \\ z&=\rho\cos\varphi =\cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

(b) The Cartesian coordinates corresponding to ρ=2\rho=2, θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} are

x=ρsin⁡φcos⁡θ=2sin⁡π2cos⁡π2=0y=ρsin⁡φsin⁡θ=2sin⁡π2sin⁡π2=2z=ρcos⁡φ=2cos⁡π2=0\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} =0 \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} =2 \\ z&=\rho\cos\varphi =2\cos\frac{\pi}{2} =0 \end{aligned}

Alternatively, we could just observe that

  • as φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} the point lies in the xyxy-plane and so has z=0z=0 and
  • as ρ=2\rho=2, θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} the point lies on the positive yy-axis and is a distance 22 from the origin and so is (0,2,0)(0,2,0).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 16번우리말 번역

BB 를 구 x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 의 내부이고 원뿔 x2+y2=z2x^2+y^2=z^2 의 위쪽에 있는 영역이라고 하자. 관성 모멘트

∭Bz2 dV\iiint _B z^2\,\mathrm{d}V

를 구하세요.

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구면좌표계에서

x=ρsin⁡φcos⁡θy=ρsin⁡φsin⁡θz=ρcos⁡φx=\rho\sin\varphi\cos\theta\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta\qquad z=\rho\cos\varphi

이므로 구 x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 는 ρ2=4\rho^2=4 즉 ρ=2\rho=2 이고, 원뿔 x2+y2=z2x^2+y^2=z^2 은 ρ2sin⁡2φ=ρ2cos⁡2φ\rho^2\sin^2\varphi=\rho^2\cos^2\varphi 즉 tan⁡φ=±1\tan\varphi=\pm1 즉 φ=π4, 3π4\varphi=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4} 이다. 따라서

관성 모멘트=∫02dρ∫0π/4dφ∫02πdθ ρ2sin⁡φ (ρcos⁡φ)2=2π∫02dρ ρ4∫0π/4dφ sin⁡φcos⁡2φ=2π[ρ55]02[−13cos⁡3φ]0π/4=6415π(1−122)≈8.665\begin{aligned} \text{관성 모멘트} &=\int_0^2\mathrm{d}\rho\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \rho^2\sin\varphi \ (\rho\cos\varphi)^2 =2\pi\int_0^2 \mathrm{d}\rho\ \rho^4\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\cos^2\varphi\\ &=2\pi\left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^2 \left[-\frac{1}{3}\cos^3\varphi\right]_0^{\pi/4} =\frac{64}{15}\pi\left(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)\approx 8.665 \end{aligned}

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# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

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