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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

반지름이 aa 이고 높이가 hh 인 원기둥의 부피를 구면좌표계에서의 적분을 이용하여 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the volume of a circular cylinder of radius aa and height hh by means of an integral in spherical coordinates.

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원기둥의 윗면의 방정식은 z=hz=h, 즉 ρcos⁡φ=h\rho\cos\varphi=h 이다. 원기둥의 옆면의 방정식은 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2, 즉 ρsin⁡φ=a\rho\sin\varphi=a 이다. 원기둥의 밑면의 방정식은 z=0z=0, 즉 φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} 이다.

그림

그림

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각각의 고정된 φ\varphi 에 대하여 θ\theta 는 00 에서 2π2\pi 까지 변하고, ρ\rho 는 00 에서 hcos⁡φ\frac{h}{\cos\varphi} (통의 윗면에서, φ<tan⁡−1ah\varphi<\tan^{-1}\frac{a}{h} 인 경우) 또는 asin⁡φ\frac{a}{\sin\varphi} (통의 옆면에서, φ>tan⁡−1ah\varphi>\tan^{-1}\frac{a}{h} 인 경우) 까지 변한다. 따라서

부피=∫0tan⁡−1ahdφ∫02πdθ∫0h/cos⁡φdρ ρ2sin⁡φ+∫tan⁡−1ahπ2dφ∫02πdθ∫0a/sin⁡φdρ ρ2sin⁡φ=2π∫0tan⁡−1ahdφ h3sin⁡φ3cos⁡3φ+2π∫tan⁡−1ahπ2dφ a3sin⁡φ3sin⁡3φ=2π{∫0ahdt h33t−∫ha0ds a33} 여기서 t=tan⁡φ, dt=sec⁡2φ dφ, s=cot⁡φ, ds=−csc⁡2φ dφ=2π{h33 12(ah)2+a33 ha}=2π{ah26+a2h3}=πa2h\begin{aligned} \text{부피} &= \int_{0}^{\tan^{-1}{a\over h}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{h/\cos\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi +\int_{\tan^{-1}{a\over h}}^{{\pi\over 2}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{a/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \\ &= 2\pi\int_{0}^{\tan^{-1}{a\over h}} \mathrm{d}\varphi \ \frac{h^3\sin\varphi}{3\cos^3\varphi} +2\pi\int_{\tan^{-1}{a\over h}}^{{\pi\over 2}} \mathrm{d}\varphi \ \frac{a^3\sin\varphi}{3\sin^3\varphi} \\ &=2\pi\Big\{\int_0^{{a\over h}}\mathrm{d}t\ \frac{h^3}{3}t -\int^0_{{h\over a}}\mathrm{d}s\ \frac{a^3}{3}\Big\} \\ &\text{ 여기서 $t=\tan\varphi$, $\mathrm{d}t=\sec^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi$, $s=\cot\varphi$, $\mathrm{d}s=-\csc^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi$} \\ &=2\pi\left\{\frac{h^3}{3}\,\frac{1}{2}\left(\frac{a}{h}\right)^2 +\frac{a^3}{3}\,\frac{h}{a}\right\} =2\pi\left\{\frac{ah^2}{6}+\frac{a^2h}{3}\right\} =\pi a^2h \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The top of the cylinder has equation z=hz=h, i.e. ρcos⁡φ=h\rho\cos\varphi=h. The side of the cylinder has equation x2+y2=a2x^2+y^2=a^2, i.e. ρsin⁡φ=a\rho\sin\varphi=a. The bottom of the cylinder has equation z=0z=0, i.e. φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}.

figure

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For each fixed φ\varphi, θ\theta runs from 00 to 2π2\pi and ρ\rho runs from 00 to either hcos⁡φ\frac{h}{\cos\varphi} (at the top of the can, if φ<tan⁡−1ah\varphi<\tan^{-1}\frac{a}{h}) or asin⁡φ\frac{a}{\sin\varphi} (at the side of the can, if φ>tan⁡−1ah\varphi>\tan^{-1}\frac{a}{h}). So the

Volume=∫0tan⁡−1ahdφ∫02πdθ∫0h/cos⁡φdρ ρ2sin⁡φ+∫tan⁡−1ahπ2dφ∫02πdθ∫0a/sin⁡φdρ ρ2sin⁡φ=2π∫0tan⁡−1ahdφ h3sin⁡φ3cos⁡3φ+2π∫tan⁡−1ahπ2dφ a3sin⁡φ3sin⁡3φ=2π{∫0ahdt h33t−∫ha0ds a33} where t=tan⁡φ, dt=sec⁡2φ dφ, s=cot⁡φ, ds=−csc⁡2φ dφ=2π{h33 12(ah)2+a33 ha}=2π{ah26+a2h3}=πa2h\begin{aligned} \text{Volume} &= \int_{0}^{\tan^{-1}{a\over h}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{h/\cos\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi +\int_{\tan^{-1}{a\over h}}^{{\pi\over 2}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{a/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \\ &= 2\pi\int_{0}^{\tan^{-1}{a\over h}} \mathrm{d}\varphi \ \frac{h^3\sin\varphi}{3\cos^3\varphi} +2\pi\int_{\tan^{-1}{a\over h}}^{{\pi\over 2}} \mathrm{d}\varphi \ \frac{a^3\sin\varphi}{3\sin^3\varphi} \\ &=2\pi\Big\{\int_0^{{a\over h}}\mathrm{d}t\ \frac{h^3}{3}t -\int^0_{{h\over a}}\mathrm{d}s\ \frac{a^3}{3}\Big\} \\ &\text{ where $t=\tan\varphi$, $\mathrm{d}t=\sec^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi$, $s=\cot\varphi$, $\mathrm{d}s=-\csc^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi$} \\ &=2\pi\left\{\frac{h^3}{3}\,\frac{1}{2}\left(\frac{a}{h}\right)^2 +\frac{a^3}{3}\,\frac{h}{a}\right\} =2\pi\left\{\frac{ah^2}{6}+\frac{a^2h}{3}\right\} =\pi a^2h \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 6번우리말 번역

구면좌표와 적분을 이용하여, 원점을 중심으로 하고 반지름이 11 인 구의 부피가 4π/34\pi/3 임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

구면좌표에서 이 구는 다음과 같다.

B={ (ρsin⁡φcos⁡θ , ρsin⁡φsin⁡θ , ρcos⁡φ) ∣ 0≤ρ≤1 , 0≤φ≤π , 0≤θ≤2π }\begin{aligned} B =\big\{ \ (\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \big|\ 0\le\rho\le 1\,,\,0\le\varphi\le\pi\,,\, 0\le\theta\le 2\pi\ \big\} \end{aligned}

dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\mathrm{d}V =\rho^2\sin\varphi\ \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta 이므로

Volume(S)=∭BdV=∫02πdθ∫0πdφ∫01dρ ρ2sin⁡φ=[∫02πdθ][∫0πdφ sin⁡φ][∫01dρ ρ2]=2π[−cos⁡φ]0π[ρ33]01=(2π)(2)(13)=4π3\begin{aligned} \text{Volume}(S) =\iiint _B\mathrm{d}V &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \\ &=\left[\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\right] \left[\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\right] \left[\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^2\right] \\ &= 2\pi\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^1 =(2\pi)(2)\left(\frac{1}{3}\right) \\ &=\frac{4\pi}{3} \end{aligned}

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