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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

원점을 중심으로 하는 반지름이 2인 공의 윗부분 절반을 생각하세요. 이 공의 밀도는 단위 부피당 질량이 9z9z 인 변수 밀도라고 하세요.

(a) 이 반구의 질량을 나타내는 삼중적분을 세우세요. (b) 이 질량 중 원뿔

z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}

안쪽에 있는 부분이 차지하는 분수를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the top half of a ball of radius 2 centred at the origin. Suppose that the ball has variable density equal to 9z9z units of mass per unit volume.

(a) Set up a triple integral giving the mass of this half–ball. (b) Find out what fraction of that mass lies inside the cone

z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}

정답·풀이 보기

(a) 구면좌표계에서

x=ρsin⁡ϕcos⁡θy=ρsin⁡ϕsin⁡θz=ρcos⁡ϕx=\rho\sin\phi\cos\theta\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta\qquad z=\rho\cos\phi

이므로 구 x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 는 ρ2=4\rho^2=4 즉 ρ=2\rho=2 이고, xyxy평면은 ϕ=π2\phi=\frac{\pi}{2} 이다. 따라서

mass=∫02dρ∫0π/2dϕ∫02πdθ ρ2sin⁡ϕ (9ρcos⁡ϕ)⏞density\text{mass} =\int_0^2d\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^2\sin\phi \ \overbrace{(9 \rho\cos\phi)}^{\rm density}

(b) 반구의 질량은

9∫02dρ∫0π/2dϕ∫02πdθ ρ3sin⁡ϕcos⁡ϕ=9[∫02dρ ρ3][∫0π/2dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ][∫02πdθ]9 \int_0^2d\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^3\sin\phi \cos\phi =9 \bigg[\int_0^2d\rho\ \rho^3\bigg] \bigg[\int_0^{\pi/2}d\phi\ \sin\phi \cos\phi\bigg] \bigg[\int_0^{2\pi}d\theta\bigg]

이다. 구면좌표계에서 원뿔 x2+y2=z2x^2+y^2=z^2 은 ρ2sin⁡2ϕ=ρ2cos⁡2ϕ\rho^2\sin^2\phi=\rho^2\cos^2\phi 즉 tan⁡ϕ=±1\tan\phi=\pm1 이므로 ϕ=π4, 3π4\phi=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4} 이다. 따라서 원뿔 안쪽에 있는 부분의 질량은

9∫02dρ∫0π/4dϕ∫02πdθ ρ3sin⁡ϕcos⁡ϕ=9[∫02dρ ρ3][∫0π/4dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ][∫02πdθ]9 \int_0^2d\rho\int_0^{\pi/4}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^3\sin\phi \cos\phi =9 \bigg[\int_0^2d\rho\ \rho^3\bigg] \bigg[\int_0^{\pi/4}d\phi\ \sin\phi \cos\phi\bigg] \bigg[\int_0^{2\pi}d\theta\bigg]

이다.

원뿔 안쪽의 분수는

∫0π/4dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ∫0π/2dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ=12sin⁡2ϕ∣0π/412sin⁡2ϕ∣0π/2=12\frac{\int_0^{\pi/4}d\phi\ \sin\phi \cos\phi}{\int_0^{\pi/2}d\phi\ \sin\phi \cos\phi} =\frac{\tfrac{1}{2}\sin^2\phi\big|_0^{\pi/4}}{\tfrac{1}{2}\sin^2\phi\big|_0^{\pi/2}} =\frac{1}{2}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In spherical coordinates,

x=ρsin⁡ϕcos⁡θy=ρsin⁡ϕsin⁡θz=ρcos⁡ϕx=\rho\sin\phi\cos\theta\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta\qquad z=\rho\cos\phi

the sphere x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 is ρ2=4\rho^2=4 or ρ=2\rho=2 and the xyxy-plane is ϕ=π2\phi=\frac{\pi}{2}. So

mass=∫02dρ∫0π/2dϕ∫02πdθ ρ2sin⁡ϕ (9ρcos⁡ϕ)⏞density\text{mass} =\int_0^2d\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^2\sin\phi \ \overbrace{(9 \rho\cos\phi)}^{\rm density}

(b) The mass of the half ball is

9∫02dρ∫0π/2dϕ∫02πdθ ρ3sin⁡ϕcos⁡ϕ=9[∫02dρ ρ3][∫0π/2dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ][∫02πdθ]9 \int_0^2d\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^3\sin\phi \cos\phi =9 \bigg[\int_0^2d\rho\ \rho^3\bigg] \bigg[\int_0^{\pi/2}d\phi\ \sin\phi \cos\phi\bigg] \bigg[\int_0^{2\pi}d\theta\bigg]

In spherical coordinates, the cone x2+y2=z2x^2+y^2=z^2 is ρ2sin⁡2ϕ=ρ2cos⁡2ϕ\rho^2\sin^2\phi=\rho^2\cos^2\phi or tan⁡ϕ=±1\tan\phi=\pm1 or ϕ=π4, 3π4\phi=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}. So the mass of the part that is inside the cone is

9∫02dρ∫0π/4dϕ∫02πdθ ρ3sin⁡ϕcos⁡ϕ=9[∫02dρ ρ3][∫0π/4dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ][∫02πdθ]9 \int_0^2d\rho\int_0^{\pi/4}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^3\sin\phi \cos\phi =9 \bigg[\int_0^2d\rho\ \rho^3\bigg] \bigg[\int_0^{\pi/4}d\phi\ \sin\phi \cos\phi\bigg] \bigg[\int_0^{2\pi}d\theta\bigg]

The fraction inside the cone is

∫0π/4dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ∫0π/2dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ=12sin⁡2ϕ∣0π/412sin⁡2ϕ∣0π/2=12\frac{\int_0^{\pi/4}d\phi\ \sin\phi \cos\phi}{\int_0^{\pi/2}d\phi\ \sin\phi \cos\phi} =\frac{\tfrac{1}{2}\sin^2\phi\big|_0^{\pi/4}}{\tfrac{1}{2}\sin^2\phi\big|_0^{\pi/2}} =\frac{1}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 3번우리말 번역

직교좌표를 구면좌표로 변환하세요.

(a) (−2,0,0)(-2,0,0) (b) (0,3,0)(0,3,0) (c) (0,0,−4)(0,0,-4) (d) (−12,12,3)\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 점 (−2,0,0)(-2,0,0) 은

  • xyxy평면 위에 있으므로(즉 z=ρcos⁡φ=0z=\rho\cos\varphi=0 이므로) φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} 이고
  • 음의 xx축 위에 있으므로 θ=π\theta=\pi 이고
  • 원점으로부터의 거리가 22 이므로 ρ=2\rho=2 이다.

(b) 점 (0,3,0)(0,3,0) 은

  • xyxy평면 위에 있으므로(즉 z=ρcos⁡φ=0z=\rho\cos\varphi=0 이므로) φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} 이고
  • 양의 yy축 위에 있으므로 θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} 이고
  • 원점으로부터의 거리가 33 이므로 ρ=3\rho=3 이다.

(c) 점 (0,0,−4)(0,0,-4) 는

  • 음의 zz축 위에 있으므로 φ=π\varphi=\pi 이고 θ\theta 는 임의의 값이며 그리고
  • 원점으로부터의 거리가 44 이므로 ρ=4\rho=4 이다.

(d) 점 (−12,12,3)\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right) 은

  • ρ=x2+y2+z2=(−12)2+(12)2+(3)2=4=2\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2} =\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 +\left(\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4}=2 이고
  • 3=z=ρcos⁡φ=2cos⁡φ\sqrt{3}=z=\rho\cos\varphi = 2\cos\varphi 이므로 cos⁡φ=32\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} 이고 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6} 이고
  • −12=x=ρsin⁡φcos⁡θ=2(12)cos⁡θ-\frac{1}{\sqrt{2}}=x=\rho\sin\varphi\cos\theta = 2\big(\frac{1}{2}\big)\cos\theta 이므로 cos⁡θ=−12\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} 이다. (−12,12)\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) 이 제2사분면에 있으므로 π2≤θ≤π\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi 이고, 따라서 θ=3π4\theta=\frac{3\pi}{4} 이다.
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