원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.7절 · 21번

CLP-3 · 3.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

어떤 입체가 아래로는 원뿔 $z\!=\!\sqrt{x^2\!+\!y^2}\$ 으로, 위로는 구 $x^2+y^2+z^2 = 2$ 로 유계이다. 이 입체의 밀도는 $\delta (x,y,z) = x^2 + y^2$ 이다.

(a) 이 입체의 질량 $M$ 을 원기둥좌표계에서 적분 구간과 함께 삼중적분으로 나타내세요. (b) (a)와 같이 하되 구면좌표계에서 나타내세요. (c) $M$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A solid is bounded below by the cone $z\!=\!\sqrt{x^2\!+\!y^2}\$ and above by the sphere $x^2+y^2+z^2 = 2$ . It has density $\delta (x,y,z) = x^2 + y^2$ .

(a) Express the mass $M$ of the solid as a triple integral, with limits, in cylindrical coordinates. (b) Same as (a) but in spherical coordinates. (c) Evaluate $M$ .

정답·풀이 보기

(a) 이 입체를 $V$ 라 하자. 원기둥좌표계에서

$x^2+y^2+z^2\le 2$ 는 $r^2+z^2\le 2$ 이고
$\sqrt{x^2+y^2}\le z$ 는 $r\le z$ 이고
밀도는 $\delta =r^2$ 이고
$\mathrm{d}V$ 는 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$ 이다.

$r^2+z^2= 2$ 와 $r= z$ 는 $2r^2=2$ 일 때 만나므로 $r=z=1$ 임을 알 수 있다. 다음은 $E$ 의 $y=0$ 단면의 그림이다.

따라서

$V =\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le2\pi,\ r\le z\le \sqrt{2-r^2}\ \big\}$

이고

$\begin{aligned} M &=\iiint _V \rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V =\int_0^1\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_r^{\sqrt{2-r^2}}\mathrm{d}z\ r\overbrace{(r^2)}^{\delta } =\int_0^1\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_r^{\sqrt{2-r^2}}\mathrm{d}z\ r^3 \end{aligned}$

이다.

(b)

구면좌표계에서

$x^2+y^2+z^2\le 2$ 는 $\rho\le\sqrt{2}$ 이고,
$\sqrt{x^2+y^2}\le z$ 는 $\rho\sin\varphi\le \rho\cos\varphi$ , 즉 $\tan\varphi\le 1$ 또는 $\varphi\le\frac{\pi}{4}$ 이고,
밀도는 $x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi$ 이고,
$\mathrm{d}V$ 는 $\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ 이다.

따라서

$V =\big\{ \ (\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \big|\ 0\le\rho\le \sqrt{2},\ 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le \varphi\le {\pi}/{4}\ \big\}$

이고, 피적분함수가 $x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi$ 이므로

$\begin{aligned} M &=\iiint _V \big(x^2+y^2\big)\ \mathrm{d}V =\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^2\sin\varphi\ \rho^2\sin^2\varphi \\ &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^4\sin^3\varphi \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} M &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^4\sin^3\varphi \\ &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^4\sin\varphi \big[1-\cos^2\varphi\big] \\ &=2\pi \int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\ \rho^4 \left[-\cos\varphi +\frac{\cos^3\varphi}{3}\right]_0^{\pi/4} =2\pi \left[\frac{2}{3} - \frac{5}{6\sqrt{2}}\right] \int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\ \rho^4 \\ &=2\pi \frac{4\sqrt{2}}{5}\left[\frac{2}{3} - \frac{5}{6\sqrt{2}}\right] =\pi \left[\frac{16\sqrt{2}}{15} - \frac{4}{3}\right] \approx 0.5503 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Call the solid $V$ . In cylindrical coordinates

$x^2+y^2+z^2\le 2$ is $r^2+z^2\le 2$ and
$\sqrt{x^2+y^2}\le z$ is $r\le z$ and
the density $\delta =r^2$ , and
$\mathrm{d}V$ is $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$

Observe that $r^2+z^2= 2$ and $r= z$ intersect when $2r^2=2$ so that $r=z=1$ . Here is a sketch of the $y=0$ cross–section of $E$ .

$V =\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le2\pi,\ r\le z\le \sqrt{2-r^2}\ \big\}$

and

(b)

In spherical coordinates

$x^2+y^2+z^2\le 2$ is $\rho\le\sqrt{2}$ , and
$\sqrt{x^2+y^2}\le z$ is $\rho\sin\varphi\le \rho\cos\varphi$ , or $\tan\varphi\le 1$ or $\varphi\le\frac{\pi}{4}$ , and
the density $x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi$ , and
$\mathrm{d}V$ is $\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$

$V =\big\{ \ (\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \big|\ 0\le\rho\le \sqrt{2},\ 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le \varphi\le {\pi}/{4}\ \big\}$

and, since the integrand $x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi$ ,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 22번우리말 번역

$\begin{aligned} I = \iiint _E xz\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

라 하자. 여기서 $E$ 는 구 $x^2+y^2+z^2\le 1$ 의 8분의 1 부분으로, $x,y,z\ge 0$ 이다.

(a) $I$ 를 구면좌표계에서의 삼중적분으로 나타내세요. (b) $I$ 를 원기둥좌표계에서의 삼중적분으로 나타내세요. (c) 어떤 방법으로든 $I$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $E$ 위에서

구면좌표 $\varphi$ 는 $0$ (양의 $z$ 축)에서 ${\pi}/{2}$ ( $xy$ 평면)까지 움직이고,
그 범위의 각 고정된 $\varphi$ 에 대해 $\theta$ 는 $0$ 에서 ${\pi}/{2}$ 까지 움직이며,
각 고정된 $\varphi$ 와 $\theta$ 에 대해 구면좌표 $\rho$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 움직인다.
구면좌표에서 $\mathrm{d}V=\rho^2\,\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi$ 이고

$xz=\big(\rho\sin\varphi\cos\theta\big)\big(\rho\cos\varphi\big) =\rho^2 \sin\varphi\ \cos\varphi\ \cos\theta$

이다. 따라서

$\begin{aligned} I=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^4\sin^2\varphi\cos\varphi\ \cos\theta \end{aligned}$

(b) 원기둥좌표에서 조건 $x^2+y^2+z^2\le 1$ 은 $r^2+z^2\le 1$ 이 된다. 따라서 $E$ 위에서

원기둥좌표 $z$ 는 $0$ ( $xy$ 평면 위)에서 $1$ ( $(0,0,1)$ 에서)까지 움직이고,
그 범위의 각 고정된 $z$ 에 대해 $\theta$ 는 $0$ 에서 $\pi/2$ 까지 움직이며,
각 고정된 $z$ 와 $\theta$ 에 대해 원기둥좌표 $r$ 은 $0$ 에서 $\sqrt{1-z^2}$ 까지 움직인다 ( $r^2+z^2\le 1$ 임을 떠올리자).
원기둥좌표에서 $\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$ 이고

$xz=\big(r\cos\theta\big)\big(z\big) =r\,z\, \cos\theta$

이다. 따라서

$\begin{aligned} I=\int_0^1\mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{1-z^2}}\mathrm{d}r \ r^2\,z\,\cos\theta \end{aligned}$

$\begin{aligned} I&= \left[\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\ \sin^2\varphi\cos\varphi\right] \left[\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \cos\theta\right] \left[\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^4\right] \\ &=\left[\frac{\sin^3\varphi}{3}\right]_0^{\pi/2} \left[\sin\theta\right]_0^{\pi/2} \left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{15} \end{aligned}$

이다. 이제 원기둥좌표에서는

$\begin{aligned} I&=\int_0^1\mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{1-z^2}}\mathrm{d}r \ r^2\,z\,\cos\theta \\ &=\frac{1}{3}\int_0^1\mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ z{(1-z^2\big)}^{3/2}\, \cos\theta \\ &=\frac{1}{3}\int_0^1\mathrm{d}z\ z{(1-z^2\big)}^{3/2} \\ &=\frac{1}{3}\left[-\frac{1}{2}\ \frac{(1-z^2)^{5/2}}{5/2}\right]_0^1\\ &=\frac{1}{15} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산도전자동 분류