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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

(a) 구면좌표계에서 방정식 ρ=8sin⁡(φ)\rho = 8 \sin(\varphi) 로 정의된 곡면의 내부에 있는 입체의 부피를 구하세요.

다음을 이용해도 됩니다.

∫sin⁡4(φ)=132(12φ−8sin⁡(2φ)+sin⁡(4φ))+C\int \sin^4(\varphi) =\frac{1}{32}\big(12\varphi -8\sin(2\varphi) +\sin(4\varphi)\big) +C (b) 이 입체의 그림을 그리거나 어떤 모양인지 설명하세요.

영어 원문 보기

(a) Find the volume of the solid inside the surface defined by the equation ρ=8sin⁡(φ)\rho = 8 \sin(\varphi) in spherical coordinates.

You may use that

∫sin⁡4(φ)=132(12φ−8sin⁡(2φ)+sin⁡(4φ))+C\int \sin^4(\varphi) =\frac{1}{32}\big(12\varphi -8\sin(2\varphi) +\sin(4\varphi)\big) +C (b) Sketch this solid or describe what it looks like.

정답·풀이 보기

(a) 구면좌표계에서 φ\varphi 는 00 (양의 zz축)부터 π\pi (음의 zz축)까지 변하고, θ\theta 는 00 부터 2π2\pi 까지 변하며 (θ\theta 는 일반적인 극좌표 또는 원기둥좌표이다) dV=ρ2 sin⁡φ dρ dθ dφ\mathrm{d}V = \rho^2\ \sin\varphi\ \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi 임을 떠올리자. 따라서

부피=∫0πdφ∫02πdθ∫08sin⁡φdρ ρ2 sin⁡φ=∫0πdφ∫02πdθ (8sin⁡φ)33sin⁡φ=2(83) π3∫0πdφ sin⁡4φ=2(83) π3[132(12φ−8sin⁡(2φ)+sin⁡(4φ))]0π=2(83) π3 12 π32=128π2\begin{aligned} \text{부피} & = \int_0^\pi \mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{8\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\ \sin\varphi \\ & = \int_0^\pi \mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{(8\sin\varphi)^3}{3} \sin\varphi \\ & = \frac{2(8^3)\,\pi}{3} \int_0^\pi \mathrm{d}\varphi\ \sin^4\varphi \\ &= \frac{2(8^3)\,\pi}{3} \left[\frac{1}{32}\big(12\varphi -8\sin(2\varphi) +\sin(4\varphi)\big)\right]_0^\pi \\ &=\frac{2(8^3)\,\pi}{3}\ \frac{12\,\pi}{32} =128\pi^2 \end{aligned}

(b) 00 과 π\pi 사이의 임의의 φ\varphi 를 고정하자. ρ=8sin⁡φ\rho=8\sin\varphi 일 때, θ\theta 가 00 부터 2π2\pi 까지 변하면

(x,y,z)=(ρsin⁡φcos⁡θ , ρsin⁡φsin⁡θ , ρcos⁡φ)=(8sin⁡2φcos⁡θ , 8sin⁡2φsin⁡θ , 8sin⁡φcos⁡φ)=(Rcos⁡θ , Rsin⁡θ , Z)여기서 R=8sin⁡2φ, Z=8sin⁡φcos⁡φ\begin{aligned} (x,y,z) &= \big(\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi\big) \\ &= \big(8\sin^2\varphi\cos\theta\,,\,8\sin^2\varphi\sin\theta\,,\, 8\sin\varphi\cos\varphi\big) \\ &= \big(R\cos\theta\,,\,R\sin\theta\,,\,Z\big)\qquad \text{여기서 }R=8\sin^2\varphi,\ Z= 8\sin\varphi\cos\varphi \end{aligned}

는 평면 z=Z=8sin⁡φcos⁡φz=Z=8\sin\varphi\cos\varphi 위에 있고 (0,0,Z=8sin⁡φcos⁡φ)\big(0,0,Z=8\sin\varphi\cos\varphi\big) 을 중심으로 하는 반지름 R=8sin⁡2φR=8\sin^2\varphi 인 원을 그린다. 따라서 이 곡면은 원들을 차곡차곡 쌓아 올린 것이며, 회전면이다. 이 곡면은 다음과 같이 그릴 수 있다.

  • 먼저 곡면의 θ=0\theta=0 단면 (곡면 중 xzxz평면의 오른쪽 절반에 있는 부분)을 그린다.
  • 그다음 그 결과를 zz축을 중심으로 회전시킨다.

곡면의 θ=0\theta=0 부분은

{ (x,y,z) ∣ x=8sin⁡2φ, y=0, z=8sin⁡φcos⁡φ, 0≤φ≤π }={ (x,y,z) ∣ x=4−4cos⁡(2φ), y=0, z=4sin⁡(2φ), 0≤φ≤π }\begin{aligned} &\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=8\sin^2\varphi,\ y=0,\ z=8\sin\varphi\cos\varphi,\ 0\le\varphi\le \pi\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=4-4\cos(2\varphi),\ y=0,\ z=4\sin(2\varphi),\ 0\le\varphi\le \pi\ \big\} \end{aligned}

이다. 이것은 xzxz평면 (즉 y=0y=0) 위에 있고 (4,0,0)(4,0,0) 을 중심으로 하는 반지름 44 인 원이다! 아래 왼쪽 그림은 이 원의 위쪽 절반을 그린 것이다. 이 원을 zz축을 중심으로 회전시키면 토러스(도넛 모양)가 되는데, 가운데 구멍이 한 점으로 줄어든 모양이다. 아래 오른쪽 그림은 토러스 중 제1팔분공간에 있는 부분을 그린 것이다.

그림

그림

원본 교재 풀이(영어)

(a) Recall that, in spherical coordinates, φ\varphi runs from 00 (that's the positive zz–axis) to π\pi (that's the negative zz–axis), θ\theta runs from 00 to 2π2\pi (θ\theta is the regular polar or cylindrical coordinate) and dV=ρ2 sin⁡φ dρ dθ dφ\mathrm{d}V = \rho^2\ \sin\varphi\ \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. So

Volume=∫0πdφ∫02πdθ∫08sin⁡φdρ ρ2 sin⁡φ=∫0πdφ∫02πdθ (8sin⁡φ)33sin⁡φ=2(83) π3∫0πdφ sin⁡4φ=2(83) π3[132(12φ−8sin⁡(2φ)+sin⁡(4φ))]0π=2(83) π3 12 π32=128π2\begin{aligned} \text{Volume} & = \int_0^\pi \mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{8\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\ \sin\varphi \\ & = \int_0^\pi \mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{(8\sin\varphi)^3}{3} \sin\varphi \\ & = \frac{2(8^3)\,\pi}{3} \int_0^\pi \mathrm{d}\varphi\ \sin^4\varphi \\ &= \frac{2(8^3)\,\pi}{3} \left[\frac{1}{32}\big(12\varphi -8\sin(2\varphi) +\sin(4\varphi)\big)\right]_0^\pi \\ &=\frac{2(8^3)\,\pi}{3}\ \frac{12\,\pi}{32} =128\pi^2 \end{aligned}

(b) Fix any φ\varphi between 00 and π\pi. If ρ=8sin⁡φ\rho=8\sin\varphi, then as θ\theta runs from 00 to 2π2\pi,

(x,y,z)=(ρsin⁡φcos⁡θ , ρsin⁡φsin⁡θ , ρcos⁡φ)=(8sin⁡2φcos⁡θ , 8sin⁡2φsin⁡θ , 8sin⁡φcos⁡φ)=(Rcos⁡θ , Rsin⁡θ , Z)with R=8sin⁡2φ, Z=8sin⁡φcos⁡φ\begin{aligned} (x,y,z) &= \big(\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi\big) \\ &= \big(8\sin^2\varphi\cos\theta\,,\,8\sin^2\varphi\sin\theta\,,\, 8\sin\varphi\cos\varphi\big) \\ &= \big(R\cos\theta\,,\,R\sin\theta\,,\,Z\big)\qquad \text{with }R=8\sin^2\varphi,\ Z= 8\sin\varphi\cos\varphi \end{aligned}

sweeps out a circle of radius R=8sin⁡2φR=8\sin^2\varphi contained in the plane z=Z=8sin⁡φcos⁡φz=Z=8\sin\varphi\cos\varphi and centred on (0,0,Z=8sin⁡φcos⁡φ)\big(0,0,Z=8\sin\varphi\cos\varphi\big). So the surface is a bunch of circles stacked one on top of the other. It is a surface of revolution. We can sketch it by

  • first sketching the θ=0\theta=0 section of the surface (that's the part of the surface in the right half of the xzxz–plane)
  • and then rotate the result about the zz–axis.

The θ=0\theta=0 part of the surface is

{ (x,y,z) ∣ x=8sin⁡2φ, y=0, z=8sin⁡φcos⁡φ, 0≤φ≤π }={ (x,y,z) ∣ x=4−4cos⁡(2φ), y=0, z=4sin⁡(2φ), 0≤φ≤π }\begin{aligned} &\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=8\sin^2\varphi,\ y=0,\ z=8\sin\varphi\cos\varphi,\ 0\le\varphi\le \pi\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=4-4\cos(2\varphi),\ y=0,\ z=4\sin(2\varphi),\ 0\le\varphi\le \pi\ \big\} \end{aligned}

It's a circle of radius 44, contained in the xzxz–plane (i.e. y=0y=0) and centred on (4,0,0)(4,0,0)! The figure on the left below is a sketch of the top half of the circle. When we rotate the circle about the zz–axis we get a torus (a donut) but with the hole in the centre shrunk to a point. The figure on the right below is a sketch of the part of the torus in the first octant.

figure

figure

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 27번우리말 번역

EE 를 다음과 같은 입체라 하자.

0≤z≤x2+y2,x2+y2≤1,0 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2},\qquad x^2 + y^2 \le 1,

그리고 다음 적분을 생각하자.

I=∭Ezx2+y2+z2 dV.I = \iiint _E z \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\ \mathrm{d}V.

(a) 적분 II 를 원기둥좌표계로 나타내세요. (b) 적분 II 를 구면좌표계로 나타내세요. (c) 두 형태 중 하나를 사용하여 적분 II 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 원기둥좌표계에서 0≤z≤x2+y20\le z\le \sqrt{x^2+y^2} 은 0≤z≤r0\le z\le r 이 되고, x2+y2≤1x^2+y^2\le 1 은 0≤r≤10\le r\le 1 이 된다. 따라서

E={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ , z) ∣ 0≤r≤1, 0≤θ≤2π, 0≤z≤r }E = \big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi, \ 0\le z\le r\ \big\}

이고, dV=r dr dθ dz\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z 이므로

I=∭Ezx2+y2+z2 dV=∫01dr∫02πdθ∫0rdz r z r2+z2⏟x2+y2+z2\begin{aligned} I &= \iiint _E z \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\ \mathrm{d}V = \int_0^1\mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^r\mathrm{d}z\ r\ z\ \sqrt{\underbrace{r^2+z^2}_{x^2+y^2+z^2}} \end{aligned}

(b) 다음은 EE 를 θ\theta 가 상수인 평면으로 자른 단면의 그림이다.

그림

구면좌표 φ\varphi 는 zz축과 반지름 벡터 사이의 각임을 기억하자. 따라서 구면좌표계에서 z=rz=r (이는 zz축과 π4\frac{\pi}{4} 의 각을 이룬다)은 φ=π4\varphi=\frac{\pi}{4} 가 되고, 평면 z=0z=0, 즉 xyxy평면은 φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} 가 되며, r=1r=1 은 ρsin⁡φ=1\rho\sin\varphi = 1 이 된다. 따라서

E={(ρsin⁡φcos⁡θ , ρsin⁡φsin⁡θ , ρcos⁡φ) ∣ π4≤φ≤π2, 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1sin⁡φ }E = \left\{(\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \left|\ \frac{\pi}{4}\le \varphi\le \frac{\pi}{2}, \ 0\le\theta\le 2\pi, \ 0\le \rho\le \frac{1}{\sin\varphi}\ \right.\right\}

이고, dV=ρ2sin⁡φ dρ dθ dφ\mathrm{d}V = \rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi 이므로

I=∭Ezx2+y2+z2 dV=∫π/4π/2dφ∫02πdθ∫01/sin⁡φdρ ρ2sin⁡φ ρcos⁡φ⏞z ρ=∫π/4π/2dφ∫02πdθ∫01/sin⁡φdρ ρ4sin⁡φ cos⁡φ\begin{aligned} I &= \iiint _E z \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\ \mathrm{d}V = \int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{1/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \ \overbrace{\rho\cos\varphi}^{z}\ \rho \\ &= \int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{1/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^4\sin\varphi \ \cos\varphi \end{aligned}

(c) 구면좌표계 형태를 사용하여 적분하자.

I=∫π/4π/2dφ∫02πdθ∫01/sin⁡φdρ ρ4sin⁡φ cos⁡φ=∫π/4π/2dφ∫02πdθ 15sin⁡5φsin⁡φ cos⁡φ=2π5∫π/4π/2dφ cos⁡φsin⁡4φ=2π5∫1/21duu4단, u=sin⁡φ, du=cos⁡φ dφ=2π5[u−3−3]1/21=2(22−1)π15\begin{aligned} I &= \int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{1/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^4\sin\varphi \ \cos\varphi \\ &= \int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{1}{5\sin^5\varphi}\sin\varphi \ \cos\varphi \\ &= \frac{2\pi}{5}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\ \frac{\cos\varphi}{\sin^4\varphi} \\ &= \frac{2\pi}{5}\int_{1/\sqrt{2}}^{1} \frac{\mathrm{d}u}{u^4}\qquad\text{단, } u=\sin\varphi,\ \mathrm{d}u=\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi \\ &= \frac{2\pi}{5} \left[\frac{u^{-3}}{-3}\right]_{1/\sqrt{2}}^{1} \\ &= \frac{2(2\sqrt{2}-1)\pi}{15} \end{aligned}

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