선적분 연습문제 — CLP-4 · 1.6절 · 5번

CLP-4 · 1.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

$C$ 가 $(1,2,3)$ 에서 $(2,4,5)$ 까지의 선분일 때, $\int_C (xy+z) \mathrm{d}s$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Compute $\int_C (xy+z) \mathrm{d}s$ where $C$ is the line segment from $(1,2,3)$ to $(2,4,5)$ .

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정답·풀이 보기

$C$ 를 매개변수로 나타내기 위해, 두 점 사이의 벡터가 $(2-1,4-2,5-3)=(1,2,2)$ 임에 주목한다. 따라서 이 직선은 $0 \le t \le 1$ 에 대해 $(1,2,3)+t(1,2,2)$ 이다. 즉, $x(t)=1+t$ , $y(t)=2+2t$ , 그리고 $z(t)=3+2t$ 이다.

$\begin{aligned} \int_C(xy+z)\mathrm{d}s&=\int_0^1 \left((1+t)(2+2t)+(3+2t)\right)\sqrt{1^1+2^2+2^2}\mathrm{d}t\\ &= \int_0^1 3\big(5 + 6t + 2t^2\big)\ \mathrm{d}t=26 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

To parametrize $C$ , we note the vector between the two points is $(2-1,4-2,5-3)=(1,2,2)$ . So, the line is $(1,2,3)+t(1,2,2)$ for $0 \le t \le 1$ . That is, $x(t)=1+t$ , $y(t)=2+2t$ , and $z(t)=3+2t$ .

$\begin{aligned} \int_C(xy+z)\mathrm{d}s&=\int_0^1 \left((1+t)(2+2t)+(3+2t)\right)\sqrt{1^1+2^2+2^2}\mathrm{d}t\\ &= \int_0^1 3\big(5 + 6t + 2t^2\big)\ \mathrm{d}t=26 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6장 복습 · 23번우리말 번역

반지름이 $\sqrt{2,}$ 인 위쪽 반원 모양이고 밀도 함수가 $\rho (x,y)=y+{x}^{2}$ 인 얇은 철사의 총질량을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\sqrt{2}\left(2\sqrt{2}+\pi \right)=4+\pi \sqrt{2}$

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# 선적분계산보통자동 분류