공간에서의 운동 연습문제 — CLP-4 · 1.7절 · 13번

CLP-4 · 1.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

마찰이 없는 롤러코스터 트랙은 매개변수 표현이 $\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta)$ 인 원형 나선의 한 바퀴 모양이다. 자동차가 $\ \theta=2\pi\$ 인 점에서 속도 0으로 출발하여 중력을 받으며 $\ \theta=0$ 인 점까지 움직인다. 뉴턴의 운동 법칙에 따라, 시각 $t$ 에서 자동차의 위치 $\mathbf{r}(t)$ 는 다음을 만족한다.

$m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}$

여기서 $m$ 은 자동차의 질량, $g$ 는 상수, $-mg\hat{\mathbf{k}}$ 는 중력에 의한 힘이고, $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ 는 자동차가 트랙 위에 머물도록 롤러코스터 트랙이 자동차에 가하는 힘이다. 트랙에 마찰이 없으므로 $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ 는 항상 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)$ 에 수직이다.

(a) $E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}$ 가 $t$ 에 관계없는 상수임을 보이세요. (이것을 “에너지 보존”이라고 한다.) (b) 점 $\theta$ 에서의 속력 $|\mathbf{v}|$ 가 $\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta)$ 를 만족함을 보이세요. (c) $\theta=0$ 에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

A frictionless roller-coaster track has the form of one turn of the circular helix with parametrization $\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta).$ A car leaves the point where $\ \theta=2\pi\$ with zero velocity and moves under gravity to the point where $\ \theta=0$ . By Newton's law of motion, the position $\mathbf{r}(t)$ of the car at time $t$ obeys

$m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}$

Here $m$ is the mass of the car, $g$ is a constant, $-mg\hat{\mathbf{k}}$ is the force due to gravity and $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ is the force that the roller-coaster track applies to the car to keep the car on the track. Since the track is frictionless, $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ is always perpendicular to $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)$ .

(a) Prove that $E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}$ is a constant, independent of $t$ . (This is called “conservation of energy”.) (b) Prove that the speed $|\mathbf{v}|$ at the point $\theta$ obeys $\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta).$ (c) Find the time it takes to reach $\theta=0$ .

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 의해

$\begin{aligned} E'(t)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\right] =m\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=\mathbf{v}(t)\cdot\big[\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}\big]+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{aligned}$

이다. $\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0$ 이기 때문이다. 따라서 $E(t)$ 는 $t$ 에 관계없는 상수이다.

(b) (a)에 의해

$\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} &\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =\big(-a\sin\theta,a\cos\theta,b\big)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ &\implies |\mathbf{v}|^2=\big[a^2+b^2]\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &\implies \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\left[\frac{|\mathbf{v}|^2}{a^2+b^2}\right]^{1/2} =-\left[\frac{2gb(2\pi-\theta)}{a^2+b^2}\right]^{1/2} \end{aligned}$

$\theta$ 는 $2\pi$ 에서 0까지 감소해야 하므로 음의 부호를 택했다. 이때 걸리는 시간은

$\begin{aligned} \int dt&=\int_{2\pi}^0 \frac{dt}{d\theta}d\theta =-\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int_{2\pi}^0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta \\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int^{2\pi}_0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta\\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2} \left[-2(2\pi-\theta)^{1/2}\right]_0^{2\pi} =2\left[\frac{a^2+b^2}{gb}\pi\right]^{1/2} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By Newton's law of motion

since $\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0$ . So $E(t)$ is a constant, independent of $t$ .

(b) By part (a),

$\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}$

(c) We wish to determine the time it takes to go from $\theta=2\pi$ to $\theta=0$ . We'll first determine $\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ .

We have chosen the negative sign because $\theta$ must decrease from $2\pi$ to 0. The time required to do so is

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.7절 · 3번우리말 번역

아래와 같은 모양의 철사를 따라 구슬이 미끄러져 내려갑니다. $x<0$ 입니다.

구슬이 위치 $x$ 에 있을 때 철사가 구슬에 가하는 수직항력을 $W\hat{\mathbf{N}}$ 이라 하세요. 단, $W>0$ 입니다. $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}$ 는 양수인지 음수인지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1:

$x$ 가 음수이고 절댓값이 클수록 철사는 점점 수직선에 가까워진다. 구슬이 수직인 철사를 따라 내려간다면 철사에 닿지 않고도 내려갈 수 있으므로, 구슬에 가해지는 힘은 0이다. $x$ 가 왼쪽에서 0에 가까워질수록 철사는 수평선에 가까워진다. 구슬이 수평선 위에 놓여 있다면 철사는 중력을 상쇄하도록 위로 밀어 올릴 것이다. 따라서 철사가 가하는 힘의 크기는 $x$ 가 증가함에 따라 증가한다고 생각할 수 있다. 즉, $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}>0$ 이다.

풀이 2:

구슬에 작용하는 알짜힘은 다음과 같다.

$\begin{aligned} F=m\mathbf{a}&= W\hat{\mathbf{N}} -mg\hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \text{양변에 $\hat{\mathbf{N}}$ 을 내적한다.} \\ W\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\mathbf{N}} - mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}&=m\mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{N}} \\ \text{식 $\mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}{t}^2}\hat{\mathbf{T}} + \kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\hat{\mathbf{N}}$ 을 이용하면,} \\ W-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}&=m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ W&=mg\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{N}}+m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &=mg\cos\theta+m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2 \end{aligned}$

여기서 $\theta$ 는 $\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 와 $\hat{\mathbf{N}}$ 사이의 각이다.

$x$ 가 절댓값이 큰 음수에서 0으로 움직이면 $\theta$ 는 $\pi/2$ 에 가까운 값에서 $0$ 에 가까운 값으로 움직인다. 따라서 $\cos \theta$ 는 0에 가까운 값에서 1에 가까운 값으로 증가한다. 그러면 $mg\cos\theta$ 는 증가한다.

또한 $x$ 가 증가함에 따라 그림에서 곡률 $\kappa$ 가 증가하고, 속력 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ 도 증가함을 알 수 있다(위치 에너지가 감소하므로 운동 에너지는 증가한다).

따라서 $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}>0$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 공간에서의 운동증명·논술도전자동 분류