극좌표와 극방정식의 그래프 연습문제 — CLP-4 · 1.8절 · 1번

CLP-4 · 1.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

$1\le i\le 5$ 인 각 $i$ 에 대해,

$xy$ 평면에 점 $(x_i,y_i)$ 를 그리고
점 $(x_i,y_i)$ 의 극좌표 $r_i$ 와 $\theta_i$ 를 $0\le\theta_i<2\pi$ 의 범위에서 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the points

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

For each $1\le i\le 5$ ,

sketch, in the $xy$ -plane, the point $(x_i,y_i)$ and
find the polar coordinates $r_i$ and $\theta_i$ , with $0\le\theta_i<2\pi$ , for the point $(x_i,y_i)$ .

정답·풀이 보기

아래 왼쪽 그림에는 좌표축 위에 있는 점 $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ 가 있다. 아래 오른쪽 그림에는 좌표축 위에 있지 않은 점 $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ 가 있다.

극좌표 $r$ , $\theta$ 와 직교좌표 $x$ , $y$ 사이에는 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 인 관계가 있음을 떠올리자. 따라서 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x}$ ( $x\ne 0$ 이라고 가정한다)이며

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ $(x_1,y_1)$ 은 양의 $x$축 위에 있으므로} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ $(x_2,y_2)$ 는 제1팔분면에 있으므로} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ $(x_3,y_3)$ 은 양의 $y$축 위에 있으므로} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ $(x_4,y_4)$ 는 제3팔분면에 있으므로} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ $(x_5,y_5)$ 는 음의 $x$축 위에 있으므로} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The left hand sketch below contains the points, $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ , that are on the axes. The right hand sketch below contains the points, $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ , that are not on the axes.

Recall that the polar coordinates $r$ , $\theta$ are related to the cartesian coordinates $x$ , $y$ , by $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ . So $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x}$ (assuming that $x\ne 0$ ) and

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ as $(x_1,y_1)$ is on the positive $x$-axis} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ as $(x_2,y_2)$ is in the first octant} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ as $(x_3,y_3)$ is on the positive $y$-axis} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ as $(x_4,y_4)$ is in the third octant} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ as $(x_5,y_5)$ is on the negative $x$-axis} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.8절 · 2번우리말 번역

(a) $(-2,0) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ 를 만족하는 모든 순서쌍 $(r,\theta)$ 를 구하세요.

(b) $(1,1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ 를 만족하는 모든 순서쌍 $(r,\theta)$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

점 $\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ 에서 원점까지의 거리는

$\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|$

이다. 따라서 $r$ 은 원점까지의 거리이거나 그 거리에 음의 부호를 붙인 값이다.

(a) $(-2,0)$ 에서 원점까지의 거리는 $2$ 이다. 따라서 $r=2$ 또는 $r=-2$ 이다.

$r=2$ 이면 $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 홀수인 정수 } \end{aligned}$

$r=-2$ 이면 $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 짝수인 정수 } \end{aligned}$

아래 왼쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(b) $(1,1)$ 에서 원점까지의 거리는 $\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $r=\sqrt{2}$ 또는 $r=-\sqrt{2}$ 이다.

$r=\sqrt{2}$ 이면 $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-\sqrt{2}$ 이면 $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

아래 왼쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

$r=\sqrt{2}$ 이면 $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-\sqrt{2}$ 이면 $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

아래 왼쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극좌표와 극방정식의 그래프그래프·표 해석기본자동 분류