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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 매개변수와 극좌표

극좌표와 극방정식의 그래프

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

(a) (−2,0)=(rcos⁡θ , rsin⁡θ)(-2,0) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) 를 만족하는 모든 순서쌍 (r,θ)(r,\theta) 를 구하세요.

(b) (1,1)=(rcos⁡θ , rsin⁡θ)(1,1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) 를 만족하는 모든 순서쌍 (r,θ)(r,\theta) 를 구하세요.

(c) (−1,−1)=(rcos⁡θ , rsin⁡θ)(-1,-1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) 를 만족하는 모든 순서쌍 (r,θ)(r,\theta) 를 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find all pairs (r,θ)(r,\theta) such that

(−2,0)=(rcos⁡θ , rsin⁡θ)(-2,0) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) (b) Find all pairs (r,θ)(r,\theta) such that

(1,1)=(rcos⁡θ , rsin⁡θ)(1,1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) (c) Find all pairs (r,θ)(r,\theta) such that

(−1,−1)=(rcos⁡θ , rsin⁡θ)(-1,-1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)

정답·풀이 보기

점 (rcos⁡θ , rsin⁡θ)\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) 에서 원점까지의 거리는

r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2=∣r∣\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|

이다. 따라서 rr 은 원점까지의 거리이거나 그 거리에 음의 부호를 붙인 값이다.

(a) (−2,0)(-2,0) 에서 원점까지의 거리는 22 이다. 따라서 r=2r=2 또는 r=−2r=-2 이다.

  • r=2r=2 이면 θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(−2,0)=(2cos⁡θ , 2sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=0, cos⁡θ=−1  ⟺  θ=nπ, n 정수 , cos⁡θ=−1  ⟺  θ=nπ, n 홀수인 정수 \begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 홀수인 정수 } \end{aligned}

  • r=−2r=-2 이면 θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(−2,0)=(−2cos⁡θ , −2sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=0, cos⁡θ=1  ⟺  θ=nπ, n 정수 , cos⁡θ=1  ⟺  θ=nπ, n 짝수인 정수 \begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 짝수인 정수 } \end{aligned}

아래 왼쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 θ=π\theta=\pi, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 θ=π\theta=\pi, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 θ=0\theta=0, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 θ=0\theta=0, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다.

그림

그림

(b) (1,1)(1,1) 에서 원점까지의 거리는 2\sqrt{2} 이다. 따라서 r=2r=\sqrt{2} 또는 r=−2r=-\sqrt{2} 이다.

  • r=2r=\sqrt{2} 이면 θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(1,1)=(2 cos⁡θ , 2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=1/2  ⟺  θ=π/4+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

  • r=−2r=-\sqrt{2} 이면 θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(1,1)=(−2 cos⁡θ , −2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=−1/2  ⟺  θ=5π/4+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

아래 왼쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다.

그림

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(c) (−1,−1)(-1,-1) 에서 원점까지의 거리는 2\sqrt{2} 이다. 따라서 r=2r=\sqrt{2} 또는 r=−2r=-\sqrt{2} 이다.

  • r=2r=\sqrt{2} 이면 θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(−1,−1)=(2 cos⁡θ , 2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=−1/2  ⟺  θ=5π/4+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

  • r=−2r=-\sqrt{2} 이면 θ\theta 는 다음을 만족해야 한다.

(−1,−1)=(−2 cos⁡θ , −2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=1/2  ⟺  θ=π/4+2nπ, n 정수 \begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}

아래 왼쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란 반직선은 극좌표가 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r>0r>0 인 모든 점의 집합이고, 분홍 반직선은 극좌표가 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r<0r<0 인 모든 점의 집합이다.

그림

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원본 교재 풀이(영어)

Note that the distance from the point (rcos⁡θ , rsin⁡θ)\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) to the origin is

r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2=∣r∣\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|

Thus rr can be either the distance to the origin or minus the distance to the origin.

(a) The distance from (−2,0)(-2,0) to the origin is 22. So either r=2r=2 or r=−2r=-2.

  • If r=2r=2, then θ\theta must obey

(−2,0)=(2cos⁡θ , 2sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=0, cos⁡θ=−1  ⟺  θ=nπ, n integer , cos⁡θ=−1  ⟺  θ=nπ, n odd integer \begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ integer },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ odd integer } \end{aligned}

  • If r=−2r=-2, then θ\theta must obey

(−2,0)=(−2cos⁡θ , −2sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=0, cos⁡θ=1  ⟺  θ=nπ, n integer , cos⁡θ=1  ⟺  θ=nπ, n even integer \begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ integer },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ even integer } \end{aligned}

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates θ=π\theta=\pi, r>0r>0 and the pink half-line is the set of all points with polar coordinates θ=π\theta=\pi, r<0r<0. In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates θ=0\theta=0, r>0r>0 and the pink half-line is the set of all points with polar coordinates θ=0\theta=0, r<0r<0.

figure

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(b) The distance from (1,1)(1,1) to the origin is 2\sqrt{2}. So either r=2r=\sqrt{2} or r=−2r=-\sqrt{2}.

  • If r=2r=\sqrt{2}, then θ\theta must obey

(1,1)=(2 cos⁡θ , 2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=1/2  ⟺  θ=π/4+2nπ, n integer \begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}

  • If r=−2r=-\sqrt{2}, then θ\theta must obey

(1,1)=(−2 cos⁡θ , −2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=−1/2  ⟺  θ=5π/4+2nπ, n integer \begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r>0r>0 and the pink half-line is the set of all points with polar coordinates θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r<0r<0. In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r>0r>0 and the pink half-line is the set of all points with polar coordinates θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r<0r<0.

figure

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(c) The distance from (−1,−1)(-1,-1) to the origin is 2\sqrt{2}. So either r=2r=\sqrt{2} or r=−2r=-\sqrt{2}.

  • If r=2r=\sqrt{2}, then θ\theta must obey

(−1,−1)=(2 cos⁡θ , 2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=−1/2  ⟺  θ=5π/4+2nπ, n integer \begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}

  • If r=−2r=-\sqrt{2}, then θ\theta must obey

(−1,−1)=(−2 cos⁡θ , −2 sin⁡θ)  ⟺  sin⁡θ=cos⁡θ=1/2  ⟺  θ=π/4+2nπ, n integer \begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r>0r>0 and the pink half-line is the set of all points with polar coordinates θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4}, r<0r<0. In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r>0r>0 and the pink half-line is the set of all points with polar coordinates θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}, r<0r<0.

figure

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한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.8절 · 3번우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

(x1,y1)=(3,0)(x2,y2)=(1,1)(x3,y3)=(0,1)(x4,y4)=(−1,1)(x5,y5)=(−2,0)\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}

또한 각 각도 θ\theta 에 대해 벡터를 다음과 같이 정의하세요.

e^r(θ)=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^e^θ(θ)=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(a) 각 각 θ\theta 에 대해 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 길이, 그리고 두 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 사이의 각을 구하세요. 외적 e^r(θ)×e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 를 계산하세요 (e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 를 k^\hat{\mathbf{k}} 성분이 0인 3차원 벡터로 보세요). (b) 1≤i≤51\le i\le 5 인 각 ii 에 대해, xyxy평면에 점 (xi,yi)(x_i,y_i) 와 벡터 e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 를 그리세요. 벡터를 그릴 때에는 벡터 e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i) 와 e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 의 꼬리를 (xi,yi)(x_i,y_i) 에 두세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 길이는 다음과 같다.

∣e^r(θ)∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1∣e^θ(θ)∣=(−sin⁡θ)2+cos⁡2θ=1\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}

또한

e^r(θ)⋅e^θ(θ)=(cos⁡θ)(−sin⁡θ)+(sin⁡θ)(cos⁡θ)=0\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0

이므로 두 벡터는 수직이고 두 벡터 사이의 각은 π2\frac{\pi}{2} 이다. 외적은 다음과 같다.

e^r(θ)×e^θ(θ)=det⁡[ı^ȷ^k^cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θcos⁡θ0]=k^\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta 로 정해지는 θ\theta 에 대해 다음에 주목한다.

  • 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 는 (0,0)(0,0) 에서 (x,y)(x,y) 로 향하는 벡터와 같은 방향의 단위벡터이다.
  • 벡터 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 는 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 에 수직인 단위벡터이다.
  • e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 yy성분은 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 의 xx성분과 부호가 같다. e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 xx성분은 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 의 yy성분과 부호가 반대이다.

다음은 i=1,3,5i =1,3,5 (축 위의 점들)에 대해 (xi,yi)(x_i,y_i), e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 를 그린 것이다.

그림

그리고 다음은 (축척을 달리하여) i=2,4i =2,4 (축 위에 있지 않은 점들)에 대해 (xi,yi)(x_i,y_i), e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 를 그린 것이다.

그림

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# 극좌표와 극방정식의 그래프계산기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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