벡터장과 흐름선

a. 막대 위에서 아래쪽 끝으로부터 거리 $p$만큼 떨어진 점 $P$를 생각하자. 이 점을 이용하여 아래 그림과 같이 더 작은 직각삼각형을 만든다.

닮은 삼각형을 이용하면:

$$\begin{aligned} h&=\frac{p}{2}H & b&=\frac{p}{2}\sqrt{4-H^2} \\ \text{$P$가 위치 $(x,y)$에 있다면:} \\ y&=h=\frac{p}{2}H & x&=\sqrt{4-H^2}-b=\left(1-\frac{p}{2}\right)\sqrt{4-H^2}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=\frac{p}{2}\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=-\frac{p}{4} &\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=\left(1-\frac{p}{2}\right)\frac{-H}{\sqrt{4-H^2}}\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\left(1-\frac{p}{2}\right)\frac{H}{2\sqrt{4-H^2}} \\ \text{$H=1$일 때:} \\ \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right|_{H=1}&=-\frac{p}{4} &\left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_{H=1}&=\left(1-\frac{p}{2}\right)\frac{1}{2\sqrt{3}} \end{aligned}$$

따라서

$$\mathbf{v}(p)=\left.\left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\right|_{H=1}=\left( \left(1-\frac{p}{2}\right)\frac{1}{2\sqrt{3}}~,~-\frac{p}{4} \right)$$

이 모형에서는 이 함수의 정의역을 $[0,2]$로 정한다. b. 먼저 a의 풀이에서 가져다 쓸 수 있는 것을 살펴보자. a와 마찬가지로, 막대 중 하나 위에서 아래쪽 끝으로부터 $p$미터 떨어진 점 $P$를 생각하자.

$P$의 위치를 $(x,y,z)$라 하자. 이제 $\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}$는 음수가 아니라 양수이므로, 이 2차원 단면에 한정하여 보면 $$\mathbf{V}(p)=\left( \left(1-\frac{p}{2}\right)\frac{-1}{2\sqrt{3}}~,~\frac{p}{4} \right)$$ 이고, 여기서 둘째 좌표는 $z$이며 첫째 좌표는 벡터 $(x,y,0)$의 방향을 가진 (수평) 직선을 따른 성분이다.

따라서 $\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right|_{H=1}=\frac{p}{4}$ 임을 알고, 또 어떤 음의 상수 $c$에 대해 $\displaystyle\left.\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\right|_{H=1}=(x,y)c$ 이고 $|(x,y)c|=\left(1-\frac{p}{2}\right)\frac{1}{2\sqrt{3}}$ 임을 안다. 벡터의 방향과 크기를 알았으므로 벡터를 구할 수 있다: $$\left.\left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\right|_{H=1}=(x,y)c=-\frac{\left(1-\frac{p}{2}\right)}{2\sqrt 3\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)$$

식을 $x$, $y$, $z$로 나타내고 싶으므로 $p$를 없애야 한다. 닮은 삼각형을 이용하면 $\frac{p}{2}=\frac{\sqrt{4-H^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{4-H^2}}$ 이다. $H=1$일 때 $1-\frac{p}{2}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt3}$ 이다. 그러므로

$$\left.\left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\right|_{H=1} =-\frac{1}{6}(x,y)$$

마지막으로 $$\mathbf{V}(x,y,z)=\left.\left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)\right|_{H=1}=\left( -\frac{1}{6}x~,~ -\frac{1}{6}y~,~ \frac{1}{2}z\right)$$

$(x,y,z)$의 모든 값이 뼈대 위에 있는 것은 아니다. 그러나 뼈대 위에 있는 $(x,y,z)$의 값에 대해서는 이 식이 성립한다.