벡터장과 흐름선 연습문제 — CLP-4 · 2.2절 · 4번

CLP-4 · 2.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\mathbf{F}= 2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ \frac{x}{y^2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+e^y\hat{\mathbf{k}}$ 의 장선 중에서 $(1,1,e)$ 를 지나는 것을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the field line of the vector field $\mathbf{F}= 2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ \frac{x}{y^2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+e^y\hat{\mathbf{k}}$ that passes through $(1,1,e)$ .

정답·풀이 보기

장선은 다음을 만족한다.

$\frac{\mathrm{d}x}{2y}=\frac{\mathrm{d}y}{x/y^2}=\frac{\mathrm{d}z}{e^y} \qquad\text{ $x,y\ne 0$ 일 때}$

특히

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{2y}=\frac{y^2\,\mathrm{d}y}{x} \implies x\,\mathrm{d}x=2y^3\,\mathrm{d}y \implies \frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}y^4+C \end{aligned}$

$x=1$ 일 때 $y=1$ 이므로 $C=0$ 이다. 따라서 $x=y^2$ 이고

$\frac{\mathrm{d}y}{x/y^2}=\frac{\mathrm{d}z}{e^y} \implies e^ydy=dz \implies z=e^y+D$

$y=1$ 일 때 $z=e$ 이므로 $D=0$ 이다. 따라서 장선은 다음과 같다.

$x=y^2 \qquad z=e^y$

원본 교재 풀이(영어)

The field lines obey

$\frac{\mathrm{d}x}{2y}=\frac{\mathrm{d}y}{x/y^2}=\frac{\mathrm{d}z}{e^y} \qquad\text{ if $x,y\ne 0$}$

In particular

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{2y}=\frac{y^2\,\mathrm{d}y}{x} \implies x\,\mathrm{d}x=2y^3\,\mathrm{d}y \implies \frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}y^4+C \end{aligned}$

Since $y=1$ when $x=1$ , $C=0$ . So $x=y^2$ and

$\frac{\mathrm{d}y}{x/y^2}=\frac{\mathrm{d}z}{e^y} \implies e^ydy=dz \implies z=e^y+D$

Since $z=e$ when $y=1$ , $D=0$ . So the field line is

$x=y^2 \qquad z=e^y$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 14.2절 · 3번우리말 번역

벡터장이 한 점에서 음의 회전을 갖는다는 것이 무슨 뜻인지 자신의 말로 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

구체적인 답은 다양하지만, 벡터장이 그 점에서 시계 방향으로 회전한다는 생각과 관련되어야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터장과 흐름선계산보통자동 분류