보존 벡터장

(a) $\mathbf{F}(x,y,z)$ 의 퍼텐셜을 구하여 이 벡터장이 보존적임을 보이겠다. $\varphi(x,y,z)$ 가 이 $\mathbf{F}$ 의 퍼텐셜이 되기 위한 필요충분조건은

$$\begin{aligned} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z) &= x \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z) &= -2y \\ \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z) &= 3z \end{aligned}$$

이다.

이 중 첫 번째 식을 적분하면

$$\varphi(x,y,z) = \frac{x^2}{2} + f(y,z)$$

이다. 이를 두 번째 식에 대입하면

$$\frac{\partial f}{\partial y}(y,z) = -2y$$

이고, 이를 적분하면

$$f(y,z) = -y^2+ g(z)$$

이다. 마지막으로 $\varphi(x,y,z) = \frac{x^2}{2} -y^2 + g(z)$ 를 마지막 식에 대입하면

$$g'(z) = 3z$$

이고, 이를 적분하면

$$g(z) = \frac{3}{2} z^2 +C$$

이다. 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다. 따라서 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 는 보존적이며, $\varphi(x,y,z)=\tfrac{1}{2} x^2-y^2+\frac{3}{2}z^2$ 은 가능한 퍼텐셜 중 하나이다.

(b) 벡터장 $\mathbf{F}= F_1\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + F_2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 는 다음 검사를 통과해야만 보존적일 수 있다.

$$\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}$$

이 경우

$$\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{x}{x^2+y^2}\Big) =-\frac{2xy}{{(x^2+y^2)}^2}$$

는

$$\frac{\partial F_2}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{-y}{x^2+y^2}\Big) =\frac{2xy}{{(x^2+y^2)}^2}$$

와 다르다. 이는 $x$ 와 $y$ 가 모두 0 이 아닌 모든 $(x,y)$ 에 대해 성립한다. 따라서 $\mathbf{F}$ 는 보존적이 아니다.