선적분

(a) $C$ 를 $x$ 로 매개변수화한다. 곡선 위의 점의 첫째 성분이 $x$ 이면 둘째 성분 $y$ 는 $x^2$ 이어야 하고, 셋째 성분 $z$ 는 $x^3$ 이어야 한다. 따라서

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+x^3\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le x\le 1\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+3x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(x)&=\sqrt{1+4x^2+9x^4} \end{aligned}$$

이고

$$\begin{aligned} \rho(x)\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(x) &=\big(8x+36x^3\big)\sqrt{1+4x^2+9x^4}\\ \int_C\rho\ \mathrm{d}s &=\int_0^1 \big(8x+36x^3\big)\sqrt{1+4x^2+9x^4}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

이다.

$u=1+4x^2+9x^4$, $\mathrm{d}u = \big(8x+36x^3\big)\,\mathrm{d}x$, $u(0)=1$, $u(1)=14$ 로 치환하면

$$\begin{aligned} \int_C\rho\ \mathrm{d}s &=\int_1^{14} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u =\frac{2}{3}u^{3/2}\bigg|_1^{14}\\ &=\frac{2}{3}\big[14^{3/2}-1\big]\approx 34.26 \end{aligned}$$

이다.

(b) $f(x,y,z)=x\sin y+yz+\tfrac{1}{2} z^2$ 에 대해 $\mathbf{F}(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)$ 이므로

$$\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=f(1,1,1)-f(0,0,0) =\sin 1+\frac{3}{2} \approx 2.3415$$

이다.

퍼텐셜 $f$ 는 추측으로 구한 것이다. 다른 방법으로, 다음을 풀어서 구할 수도 있다.

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) &= \sin y \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) &= x\cos y+z \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) &= y+z \end{aligned}$$

이 중 첫째 식을 적분하면

$$f(x,y,z) = x\sin y +g(y,z)$$

를 얻는다.

이것을 둘째 식에 대입하면

$$x\cos y+\frac{\partial g}{\partial y}(y,z) = x\cos y+z\qquad\text{또는}\qquad \frac{\partial g}{\partial y}(x,z)=z$$

이고, 이로부터 반드시

$$g(y,z) = yz + h(z)$$

이다.

마지막으로 $f(x,y,z) = x\sin y +yz + h(z)$ 를 마지막 식에 대입하면

$$y + h'(z) =y+z \quad\text{또는}\quad h'(z) = z$$

이다.

따라서 $h(x) = \frac{z^2}{2}+C$ 이고, 그러므로 임의의 상수 $C$ 에 대해 $f(x,y,z) = x\sin y + yz + \frac{z^2}{2}+C$ 이다.