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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

C\mathcal{C} 를 xyz=8xyz=8 과 x=2yx=2y 의 교선 중에서 두 점 (2,1,4)(2,1,4) 와 (4,2,1)(4,2,1) 사이에 놓인 부분이라고 하자. 다음을 계산하세요. ∫CF⋅dr\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} 여기서 F=x2 ı^+(x−2y) ȷ^+x2y k^\mathbf{F} = x^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-2y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+x^2 y\,\hat{\mathbf{k}}

영어 원문 보기

Let C\mathcal{C} be the part of the curve of intersection of xyz=8xyz=8 and x=2yx=2y which lies between the points (2,1,4)(2,1,4) and (4,2,1)(4,2,1). Calculate ∫CF⋅dr\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} where F=x2 ı^+(x−2y) ȷ^+x2y k^\mathbf{F} = x^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-2y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+x^2 y\,\hat{\mathbf{k}}

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yy 를 매개변수로 하여 곡선을 매개변수로 나타낸다. 그러면 y=ty=t, x=2y=2tx=2y=2t, z=8xy=82t2z=\frac{8}{xy}=\frac{8}{2t^2} 이므로:

r(t)=2t ı^+t ȷ^+4t2 k^,1≤t≤2r′(t)=2 ı^+ȷ^−8t3 k^F(r(t))=4t2 ı^+4t3 k^F(r(t))⋅r′(t)=8t2−32\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{4}{t^2}\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 1\le t\le 2\\ \mathbf{r}'(t)&=2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\frac{8}{t^3}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))&= 4t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+4t^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)&=8t^2-32 \end{aligned}

따라서 ∫CF⋅dr=∫12F(r(t))⋅r′(t) dt=∫12(8t2−32) dt=[83t3−32t]12=−403\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\int_1^2 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\ \mathrm{d}t =\int_1^2 \big(8t^2-32\big)\ \mathrm{d}t = \left[\frac{8}{3}t^3-32t\right]_1^2 =-\frac{40}{3}

원본 교재 풀이(영어)

Parametrize the curve using yy as a parameter. Then y=ty=t, x=2y=2tx=2y=2t and z=8xy=82t2z=\frac{8}{xy}=\frac{8}{2t^2} so that:

r(t)=2t ı^+t ȷ^+4t2 k^,1≤t≤2r′(t)=2 ı^+ȷ^−8t3 k^F(r(t))=4t2 ı^+4t3 k^F(r(t))⋅r′(t)=8t2−32\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{4}{t^2}\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 1\le t\le 2\\ \mathbf{r}'(t)&=2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\frac{8}{t^3}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))&= 4t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+4t^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)&=8t^2-32 \end{aligned}

Then ∫CF⋅dr=∫12F(r(t))⋅r′(t) dt=∫12(8t2−32) dt=[83t3−32t]12=−403\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\int_1^2 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\ \mathrm{d}t =\int_1^2 \big(8t^2-32\big)\ \mathrm{d}t = \left[\frac{8}{3}t^3-32t\right]_1^2 =-\frac{40}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 13번우리말 번역

힘의 장 F(x,y,z)=(x−y2 , y−z2 , z−x2)\mathbf{F}(x,y,z) = (x - y^2\,,\, y - z^2\,,\, z - x^2) 이 점 (0,0,1)(0, 0, 1) 에서 (2,1,0)(2, 1, 0) 까지의 선분을 따라 움직이는 입자에 한 일을 구하세요.

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선분을 다음과 같이 매개변수로 나타낸다.

r(t)=(0,0,1)+t{(2,1,0)−(0,0,1)}=(2t,t,1−t)0≤t≤1\mathbf{r}(t) = (0,0,1) + t\big\{(2,1,0)-(0,0,1)\big\} = \big(2t,t,1-t\big)\qquad 0\le t\le 1

그러면 r(0)=(0,0,1)\mathbf{r}(0) = (0,0,1) 은 선분의 시작점이고 r(1)=(2,1,0)\mathbf{r}(1) = (2,1,0) 은 선분의 끝점이다. 이때

r′(t)=(2,1,−1)\mathbf{r}'(t) = (2,1,-1)\qquad

이고, 일은

∫F⋅dr=∫01F(r(t))⋅r′(t) dt=∫01(2t−t2 , t−(1−t)2 , (1−t)−4t2)⋅(2,1,−1) dt=∫01(4t−2t2 + t−1+2t−t2 − 1+t+4t2) dt=∫01(t2+8t−2) dt=13+4−2=73\begin{aligned} \int\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^1 \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot \mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1\big(2t-t^2\,,\, t-(1-t)^2 \,,\,(1-t)-4t^2\big)\cdot(2,1,-1)\,\mathrm{d}t \\ &=\int_0^1\big(4t-2t^2 \ +\ t-1+2t-t^2 \ -\ 1+t+4t^2\big)\,\mathrm{d}t =\int_0^1\big(t^2+8t-2\big)\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{3}+4-2 =\frac{7}{3} \end{aligned}

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# 선적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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