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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

 F=xx2+y2 ı^+yx2+y2 ȷ^+x3 k^\ \mathbf{F}= \frac{x}{x^2+y^2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{y}{x^2+y^2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+x^3\,\hat{\mathbf{k}} 라 하자. PP 는 (1,0,0)(1,0,0) 에서 출발하여 (12,12,12ln⁡2)\big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\ln 2\big) 에서 끝나고 다음 곡선을 따르는 경로라 하자.

x2+y2=1xez=1x^2+y^2=1\qquad xe^z=1

장 F\mathbf{F} 안에서 입자를 PP 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

영어 원문 보기

Let  F=xx2+y2 ı^+yx2+y2 ȷ^+x3 k^\ \mathbf{F}= \frac{x}{x^2+y^2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{y}{x^2+y^2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+x^3\,\hat{\mathbf{k}}. Let PP be the path which starts at (1,0,0)(1,0,0), ends at (12,12,12ln⁡2)\big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\ln 2\big) and follows

x2+y2=1xez=1x^2+y^2=1\qquad xe^z=1

Find the work done in moving a particle along PP in the field F\mathbf{F}.

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PP 위에서 z=ln⁡1x=−ln⁡(x)z=\ln\frac{1}{x}=-\ln(x) 이다. 따라서 곡선 PP 를 다음과 같이 매개변수로 나타낸다.

r(θ)=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^−ln⁡(cos⁡θ) k^0≤θ≤π4\mathbf{r}(\theta)=\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\ln(\cos\theta)\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}

그러면

r ′(θ)=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^+tan⁡θ k^F(r(θ))=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^+cos⁡3θ k^F(r(θ))⋅r ′(θ)=sin⁡θcos⁡2θ\begin{aligned} \mathbf{r}\,'(\theta)&=-\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\tan\theta\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(\theta)\big)&=\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos^3\theta\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(\theta)\big)\cdot\mathbf{r}\,'(\theta)&=\sin\theta\cos^2\theta\\ \end{aligned}

이므로

일=∫PF⋅dr=∫0π/4F(r(θ))⋅r ′(θ) dθ=∫0π/4sin⁡θcos⁡2θ dθ=−13cos⁡3θ∣0π/4=13[1−123/2]≈0.2155\begin{aligned} \text{일} &=\int_P\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\int_0^{\pi/4}\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(\theta)\big)\cdot\mathbf{r}\,'(\theta)\ \mathrm{d}\theta =\int_0^{\pi/4}\sin\theta\cos^2\theta\ \mathrm{d}\theta =-\frac{1}{3}\cos^3\theta\Big|_0^{\pi/4} \\ &=\frac{1}{3}\big[1-\frac{1}{2^{3/2}}\big]\approx 0.2155 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

On PP, z=ln⁡1x=−ln⁡(x)z=\ln\frac{1}{x}=-\ln(x). So parametrize the curve PP by

r(θ)=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^−ln⁡(cos⁡θ) k^0≤θ≤π4\mathbf{r}(\theta)=\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\ln(\cos\theta)\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}

Then

r ′(θ)=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^+tan⁡θ k^F(r(θ))=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^+cos⁡3θ k^F(r(θ))⋅r ′(θ)=sin⁡θcos⁡2θ\begin{aligned} \mathbf{r}\,'(\theta)&=-\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\tan\theta\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(\theta)\big)&=\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos^3\theta\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(\theta)\big)\cdot\mathbf{r}\,'(\theta)&=\sin\theta\cos^2\theta\\ \end{aligned}

so that

Work=∫PF⋅dr=∫0π/4F(r(θ))⋅r ′(θ) dθ=∫0π/4sin⁡θcos⁡2θ dθ=−13cos⁡3θ∣0π/4=13[1−123/2]≈0.2155\begin{aligned} \text{Work} &=\int_P\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\int_0^{\pi/4}\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(\theta)\big)\cdot\mathbf{r}\,'(\theta)\ \mathrm{d}\theta =\int_0^{\pi/4}\sin\theta\cos^2\theta\ \mathrm{d}\theta =-\frac{1}{3}\cos^3\theta\Big|_0^{\pi/4} \\ &=\frac{1}{3}\big[1-\frac{1}{2^{3/2}}\big]\approx 0.2155 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 15번우리말 번역

F=(yzcos⁡x , zsin⁡x+2yz , ysin⁡x+y2−sin⁡z)\mathbf{F} = \big(yz\cos x\,,\,z\sin x+2yz\,,\,y\sin x+y^2-\sin z\big) 라 하고, CC 를 0≤t≤π/20\le t\le\pi/2 에서 선분 r(t)=(t,t,t)\mathbf{r}(t) = (t,t,t) 라 하자. ∫CF⋅dr\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} 의 값을 구하세요.

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흠. F\mathbf{F} 가 수상할 만큼 복잡해 보인다. F\mathbf{F} 가 보존적이라고 추측하고 그 퍼텐셜 함수를 찾아보자. ϕ(x,y,z)\phi(x,y,z) 가 이 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜 함수일 필요충분조건은 다음과 같다.

∂φ∂x(x,y,z)=yzcos⁡x∂φ∂y(x,y,z)=zsin⁡x+2yz∂φ∂z(x,y,z)=ysin⁡x+y2−sin⁡z\begin{aligned} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z) &= yz\cos x \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z) &= z\sin x+2yz \\ \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z) &= y\sin x+y^2-\sin z \end{aligned}

이 식들 중 첫 번째 식을 적분하면

φ(x,y,z)=yzsin⁡x+f(y,z)\varphi(x,y,z) = yz\sin x + f(y,z)

이다. 이를 두 번째 식에 대입하면

zsin⁡x+∂f∂y(y,z)=zsin⁡x+2yz또는∂f∂y(y,z)=2yzz\sin x + \frac{\partial f}{\partial y}(y,z) = z\sin x+2yz\qquad\text{또는}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(y,z) = 2yz

이고, 이를 적분하면

f(y,z)=y2z+g(z)f(y,z) = y^2z + g(z)

이다. 마지막으로 φ(x,y,z)=yzsin⁡x+y2z+g(z)\varphi(x,y,z) = yz\sin x+y^2z + g(z) 를 마지막 식에 대입하면

ysin⁡x+y2+g′(z)=ysin⁡x+y2−sin⁡z또는g′(z)=−sin⁡zy\sin x+y^2 + g'(z) = y\sin x+y^2-\sin z\qquad\text{또는}\quad g'(z) = -\sin z

이고, 이를 적분하면

g(z)=cos⁡z+Cg(z) = \cos z + C

이다. 여기서 CC 는 임의의 상수이다. 따라서 ϕ(x,y,z)=yzsin⁡x+y2z+cos⁡z\phi(x,y,z)=yz\sin x+y^2z+\cos z 는 가능한 스칼라 퍼텐셜 중 하나이고, 구하는 적분은

∫CF⋅dr=φ(r)∣r(0)r(π/2)=φ(π/2 , π/2 , π/2)−φ(0,0,0)=π38+π24−1\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \varphi(\mathbf{r})\Big|_{\mathbf{r}(0)}^{\mathbf{r}(\pi/2)} = \varphi(\pi/2\,,\,\pi/2\,,\,\pi/2) -\varphi (0,0,0) = \frac{\pi^3}{8}+\frac{\pi^2}{4}-1 \end{aligned}

이다.

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# 선적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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