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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

아래 선적분의 값을 구하세요. (어떤 방법을 써도 좋습니다.)

(a) ∫C(x2+y) dx+x dy\int_C (x^2 + y)\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, 여기서 CC 는 포물선 y=9−x2y = 9 - x^2 의 호로서 (−3,0)(-3, 0) 에서 (3,0)(3, 0) 까지이다. (b) ∫CF⋅n^ ds\int_C \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s, 여기서 F(x,y)=2x2ı^+yexȷ^\mathbf{F}(x, y) = 2x^2\hat{\boldsymbol{\imath}} + ye^x\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고, CC 는 정사각형 0≤x≤10 \le x \le 1, 0≤y≤10 \le y \le 1 의 경계이다. 여기서 n^\hat{\mathbf{n}} 은 정사각형의 바깥쪽을 향하는 단위법선벡터이고, ss 는 호의 길이이다.

영어 원문 보기

Evaluate the line integrals below. (Use any method you like.)

(a) ∫C(x2+y) dx+x dy\int_C (x^2 + y)\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, where CC is the arc of the parabola y=9−x2y = 9 - x^2 from (−3,0)(-3, 0) to (3,0)(3, 0). (b) ∫CF⋅n^ ds\int_C \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s, where F(x,y)=2x2ı^+yexȷ^\mathbf{F}(x, y) = 2x^2\hat{\boldsymbol{\imath}} + ye^x\hat{\boldsymbol{\jmath}}, CC is the boundary of the square 0≤x≤10 \le x \le 1, 0≤y≤10 \le y \le 1. Here n^\hat{\mathbf{n}} is the unit normal vector pointing outward from the square, and ss is arc length.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 매개변수화

r(x)=x ı^+(9−x2) ȷ^\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(9-x^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

를 이용하여 적분을 직접 계산하자. 단, −3≤x≤3-3\le x \le 3 이다.

r′(x)=ı^−2x ȷ^\mathbf{r}'(x) = \hat{\boldsymbol{\imath}} -2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로

∫C(x2+y) dx+x dy=∫−33(x2 + 9−x2⏞y +x(−2x)⏞dydx) dx=∫−33(9−2x2) dx=2∫03(9−2x2) dx=2(27−2333)=18\begin{aligned} \int_C (x^2 + y)\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y &=\int_{-3}^3 \big(x^2\ +\ \overbrace{9-x^2}^{y}\ +x\overbrace{(-2x)}^{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\big)\,\mathrm{d}x =\int_{-3}^3 \big(9-2x^2\big)\,\mathrm{d}x \\ &=2\int_0^3 \big(9-2x^2\big)\,\mathrm{d}x =2\left(27-2\frac{3^3}{3}\right) =18 \end{aligned}

(b) 이 풀이에서는 적분을 직접 계산한다. 그림과 같이 정사각형의 네 변을 L1L_1, L2L_2, L3L_3, L4L_4 라 하자.

그림

L1L_1 을 호의 길이로 매개변수화하면 r(s)=s ı^\mathbf{r}(s) = s\,\hat{\boldsymbol{\imath}}, 0≤s≤10\le s\le 1 이다. L1L_1 에서 바깥쪽을 향하는 법선벡터는 −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로

∫L1F⋅n^ ds=∫01F(s,0)⋅(−ȷ^) ds=∫01(−0) ds=0\begin{aligned} \int_{L_1} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(s,0) \cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\, \mathrm{d}s =\int_0^1 (-0)\, \mathrm{d}s =0 \end{aligned}

L2L_2 를 호의 길이로 매개변수화하면 r(s)=ı^+s ȷ^\mathbf{r}(s) = \hat{\boldsymbol{\imath}}+s\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1 이다. L2L_2 에서 바깥쪽을 향하는 법선벡터는 ı^\hat{\boldsymbol{\imath}} 이므로

∫L2F⋅n^ ds=∫01F(1,s)⋅ı^ ds=∫012 ds=2\begin{aligned} \int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(1,s) \cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 2\, \mathrm{d}s =2 \end{aligned}

L3L_3 을 ((1,1)(1,1) 에서 시작하여) 호의 길이로 매개변수화하면 r(s)=(1−s) ı^+ȷ^\mathbf{r}(s) = (1-s)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1 이다. L3L_3 에서 바깥쪽을 향하는 법선벡터는 ȷ^\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로

∫L3F⋅n^ ds=∫01F(1−s,1)⋅ȷ^ ds=∫01e1−s ds=[−e1−s]01=e−1\begin{aligned} \int_{L_3} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(1-s,1) \cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 e^{1-s}\, \mathrm{d}s =\Big[-e^{1-s}\Big]_0^1 =e-1 \end{aligned}

L4L_4 를 ((0,1)(0,1) 에서 시작하여) 호의 길이로 매개변수화하면 r(s)=(1−s) ȷ^\mathbf{r}(s) = (1-s)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1 이다. L4L_4 에서 바깥쪽을 향하는 법선벡터는 −ı^-\hat{\boldsymbol{\imath}} 이므로

∫L2F⋅n^ ds=∫01F(0,1−s)⋅(−ı^) ds=∫01(−0) ds=0\begin{aligned} \int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(0,1-s) \cdot(- \hat{\boldsymbol{\imath}})\, \mathrm{d}s =\int_0^1 (-0)\, \mathrm{d}s =0 \end{aligned}

모두 합하면

∫CF⋅n^ ds=∫L1F⋅n^ ds+∫L2F⋅n^ ds+∫L3F⋅n^ ds+∫L4F⋅n^ ds=0+2+(e−1)+0=e+1\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s &= \int_{L_1} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_3} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_4} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s \\ &= 0+2+(e-1) +0 =e+1 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let's evaluate the integral directly using the parametrization

r(x)=x ı^+(9−x2) ȷ^\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(9-x^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

with −3≤x≤3-3\le x \le 3.

Since r′(x)=ı^−2x ȷ^\mathbf{r}'(x) = \hat{\boldsymbol{\imath}} -2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}},

∫C(x2+y) dx+x dy=∫−33(x2 + 9−x2⏞y +x(−2x)⏞dydx) dx=∫−33(9−2x2) dx=2∫03(9−2x2) dx=2(27−2333)=18\begin{aligned} \int_C (x^2 + y)\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y &=\int_{-3}^3 \big(x^2\ +\ \overbrace{9-x^2}^{y}\ +x\overbrace{(-2x)}^{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\big)\,\mathrm{d}x =\int_{-3}^3 \big(9-2x^2\big)\,\mathrm{d}x \\ &=2\int_0^3 \big(9-2x^2\big)\,\mathrm{d}x =2\left(27-2\frac{3^3}{3}\right) =18 \end{aligned}

(b) In this solution, we'll evaluate the integral directly. Label the four sides of the square L1L_1, L2L_2, L3L_3 and L4L_4 as in the figure

figure

The parametrization of L1L_1 by arc length is r(s)=s ı^\mathbf{r}(s) = s\,\hat{\boldsymbol{\imath}}, 0≤s≤10\le s\le 1. As the outward pointing normal to L1L_1 is −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}},

∫L1F⋅n^ ds=∫01F(s,0)⋅(−ȷ^) ds=∫01(−0) ds=0\begin{aligned} \int_{L_1} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(s,0) \cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\, \mathrm{d}s =\int_0^1 (-0)\, \mathrm{d}s =0 \end{aligned}

The parametrization of L2L_2 by arc length is r(s)=ı^+s ȷ^\mathbf{r}(s) = \hat{\boldsymbol{\imath}}+s\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1. As the outward pointing normal to L2L_2 is ı^\hat{\boldsymbol{\imath}},

∫L2F⋅n^ ds=∫01F(1,s)⋅ı^ ds=∫012 ds=2\begin{aligned} \int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(1,s) \cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 2\, \mathrm{d}s =2 \end{aligned}

The parametrization of L3L_3 by arc length (starting at (1,1)(1,1)) is r(s)=(1−s) ı^+ȷ^\mathbf{r}(s) = (1-s)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1. As the outward pointing normal to L3L_3 is ȷ^\hat{\boldsymbol{\jmath}},

∫L3F⋅n^ ds=∫01F(1−s,1)⋅ȷ^ ds=∫01e1−s ds=[−e1−s]01=e−1\begin{aligned} \int_{L_3} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(1-s,1) \cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 e^{1-s}\, \mathrm{d}s =\Big[-e^{1-s}\Big]_0^1 =e-1 \end{aligned}

The parametrization of L4L_4 by arc length (starting at (0,1)(0,1)) is r(s)=(1−s) ȷ^\mathbf{r}(s) = (1-s)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1. As the outward pointing normal to L4L_4 is −ı^-\hat{\boldsymbol{\imath}},

∫L2F⋅n^ ds=∫01F(0,1−s)⋅(−ı^) ds=∫01(−0) ds=0\begin{aligned} \int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(0,1-s) \cdot(- \hat{\boldsymbol{\imath}})\, \mathrm{d}s =\int_0^1 (-0)\, \mathrm{d}s =0 \end{aligned}

All together

∫CF⋅n^ ds=∫L1F⋅n^ ds+∫L2F⋅n^ ds+∫L3F⋅n^ ds+∫L4F⋅n^ ds=0+2+(e−1)+0=e+1\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s &= \int_{L_1} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_3} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_4} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s \\ &= 0+2+(e-1) +0 =e+1 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 35번우리말 번역

질량 m=1m = 1 인 입자가 시각 t=0t = 0 에서 위치 r0=ȷ^\mathbf{r}_0 = \hat{\boldsymbol{\jmath}} 와 속도 v0=ı^+k^\mathbf{v}_0 = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\mathbf{k}} 를 가진다. 이 입자는 힘 F(t)=ȷ^−sin⁡t k^\mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}} 를 받아 움직인다. 여기서 tt 는 시각을 나타낸다.

(a) 입자의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 를 tt 의 함수로 구하세요. (b) 시각 t=0t = 0 이후 입자가 평면 x=π/2x = \pi/2 를 처음으로 지날 때의 위치 r1\mathbf{r}_1 을 구하세요. (c) 입자를 r0\mathbf{r}_0 에서 r1\mathbf{r}_1 까지 움직이는 동안 F\mathbf{F} 가 한 일을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) m=1m=1 이므로 뉴턴의 운동 법칙에 의해

a(t)=v′(t)=F(t)=ȷ^−sin⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{F}(t) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} - \sin t\, \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다. 적분하면

v(t)=t ȷ^+cos⁡t k^+c\mathbf{v}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 어떤 상수 벡터이다. v(0)=ı^+k^\mathbf{v}(0)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\mathbf{k}} 이므로 c=ı^\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\imath}} 이고, 따라서

r′(t)=v(t)=ı^+t ȷ^+cos⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \mathbf{v}(t) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다. 다시 적분하면

r(t)=t ı^+t22 ȷ^+sin⁡t k^+c\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 (새로운) 어떤 상수 벡터이다. r(0)=ȷ^\mathbf{r}(0)=\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로 c=ȷ^\mathbf{c} = \hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고, 따라서

r(t)=t ı^+(1+t22) ȷ^+sin⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sin t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

(b) 입자는 t=π/2t=\pi/2 일 때 x=π/2x=\pi/2 이고, 이때

r1=r(π/2)=π2 ı^+(1+π28) ȷ^+k^\begin{aligned} \mathbf{r}_1=\mathbf{r}(\pi/2) = \frac{\pi}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(1+\frac{\pi^2}{8}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

(c) 시각 t=0t=0 부터 시각 t=π/2t=\pi/2 까지 한 일은

∫0π/2F(t)⋅dr=∫0π/2F(t)⋅drdt(t) dt=∫0π/2[ȷ^−sin⁡t k^]⋅[ı^+t ȷ^+cos⁡t k^] dt=∫0π/2[t−sin⁡tcos⁡t] dt=[t22+12cos⁡2t]0π/2=π28−12\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(t)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^{\pi/2} [\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\sin t\,\hat{\mathbf{k}}]\cdot [\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos t\,\hat{\mathbf{k}}]\,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} [t -\sin t\cos t]\,\mathrm{d}t =\Big[\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\cos^2 t\Big]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{1}{2} \end{aligned}

이다.

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# 선적분계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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