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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

SS 를 원뿔 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 안에 포함된 포물면 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 의 일부라 하고, 위쪽 방향으로 향을 잡습니다. 또한

F=(tan⁡z+sin⁡(y3)) ı^+e−x2 ȷ^+zk^\mathbf{F} = (\tan \sqrt{z} + \sin(y^3))\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{-x^2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}}

라 하자.

선속 적분 ∬SF⋅n^ dS\iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let SS be the part of the paraboloid z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 contained in the cone z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} and oriented in the upward direction. Let

F=(tan⁡z+sin⁡(y3)) ı^+e−x2 ȷ^+zk^\mathbf{F} = (\tan \sqrt{z} + \sin(y^3))\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{-x^2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}}

Evaluate the flux integral ∬SF⋅n^ dS\iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

F\mathbf{F} 가 복잡해 보이므로, 선속 적분을 직접 계산하는 것은 피하는 편이 좋을 것이다. 먼저 F\mathbf{F} 의 발산을 계산하여, 대신 발산 정리를 쓰는 것이 현명한지 살펴보자.

∇⋅F=∂∂x(tan⁡z+sin⁡(y3))+∂∂y(e−x2)+∂∂z(z)=1\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}\big(\tan \sqrt{z} + \sin(y^3)\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(e^{-x^2}\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(z\big) =1 \end{aligned}

좋아 보인다! 하지만 SS 는 입체 영역 VV 의 경계가 아니므로 아직 발산 정리를 적용할 수 없다. 경계가 적어도 SS 를 포함하는 입체 VV 를 고르는 데 도움이 되도록 그림을 그려 보면, SS 는 "아이스크림 콘"의 윗부분이다.

그림

포물면 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 과 원뿔 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 은 원 x2+y2=1x^2+y^2=1, z=1z=1 을 따라 만난다는 점에 주목하자. 경계가 SS 를 포함하는 입체 중 가장 간단한 것은 아마도 다음일 것이다.

V={ (x,y,z) ∣ 1≤z≤2−x2−y2, x2+y2≤1 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 1\le z\le 2-x^2-y^2,\ x^2+y^2\le 1\ \big\}

VV 의 경계 ∂V\partial V 는 SS (법선이 위쪽을 향함)와 다음 원판

D={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, z=1 }D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ z=1\ \big\}

(법선은 −k^-\hat{\mathbf{k}})으로 이루어져 있다. 따라서 발산 정리에 의해 다음을 얻는다.

∬SF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV−∬DF⋅(−k^) dS=∭V1⏞∇⋅FdV+∬D1⏞F⋅k^=z dS\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V -\iint _D \mathbf{F} \cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &=\iiint _V \overbrace{1}^{{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}}\mathrm{d}V +\iint _D \overbrace{1}^{\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{k}} = z}\,\mathrm{d}S \end{aligned}

DD 는 반지름이 1인 원판이므로 ∬DdS=π\iint _D \mathrm{d}S=\pi 이다. VV 의 부피를 계산하기 위해, VV 를 수평한 "팬케이크"를 쌓아 놓은 것으로 보고 얇게 자른다. z=2−x2−y2z=2-x^2-y^2 은 x2+y2=2−z\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2-z} 와 같으므로, 높이 zz 에서의 팬케이크는 반지름이 2−z\sqrt{2-z} 인 원판이고, 따라서 단면의 넓이는 π(2−z)\pi(2-z) 이다. 그러므로 VV 의 부피는 다음과 같다.

∭VdV=∫12π(2−z) dz=−π2(2−z)2∣12=π2\begin{aligned} \iiint _V \mathrm{d}V &=\int_1^2 \pi(2-z) \ \mathrm{d}z = -\frac{\pi}{2}(2-z)^2\Big|_1^2 =\frac{\pi}{2} \end{aligned}

따라서 선속은 다음과 같다.

∬SF⋅n^ dS=π2+π=32π\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{\pi}{2} +\pi =\frac{3}{2}\pi \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

As F\mathbf{F} looks complicated, we will probably want to avoid evaluating the flux integral directly. Let's first compute the divergence of F\mathbf{F}, to see if it looks wise to use the divergence theorem instead.

∇⋅F=∂∂x(tan⁡z+sin⁡(y3))+∂∂y(e−x2)+∂∂z(z)=1\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}\big(\tan \sqrt{z} + \sin(y^3)\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(e^{-x^2}\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(z\big) =1 \end{aligned}

Looks good! We cannot yet apply the divergence theorem, since SS is not the boundary of a solid region VV. To help us choose a solid VV whose boundary at least includes SS, here is a sketch. SS is the top of the “ice cream cone”

figure

Note that the paraboloid z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 and the cone z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} intersect along the circle x2+y2=1x^2+y^2=1, z=1z=1. Probably the simplest solid whose boundary includes SS is

V={ (x,y,z) ∣ 1≤z≤2−x2−y2, x2+y2≤1 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 1\le z\le 2-x^2-y^2,\ x^2+y^2\le 1\ \big\}

The boundary ∂V\partial V of VV consists of SS (with upward pointing normal) and the disk

D={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, z=1 }D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ z=1\ \big\}

with normal −k^-\hat{\mathbf{k}}. So the divergence theorem gives

∬SF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV−∬DF⋅(−k^) dS=∭V1⏞∇⋅FdV+∬D1⏞F⋅k^=z dS\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V -\iint _D \mathbf{F} \cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &=\iiint _V \overbrace{1}^{{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}}\mathrm{d}V +\iint _D \overbrace{1}^{\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{k}} = z}\,\mathrm{d}S \end{aligned}

As DD is a disk of radius 1, ∬DdS=π\iint _D \mathrm{d}S=\pi. To compute the volume of VV, we'll slice it into a stack of horizontal “pancakes”. Since z=2−x2−y2z=2-x^2-y^2 is equivalent to x2+y2=2−z\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2-z}, the pancake at height zz is a circular disk of radius 2−z\sqrt{2-z} and hence of cross-sectional area π(2−z)\pi(2-z). So the volume of VV is

∭VdV=∫12π(2−z) dz=−π2(2−z)2∣12=π2\begin{aligned} \iiint _V \mathrm{d}V &=\int_1^2 \pi(2-z) \ \mathrm{d}z = -\frac{\pi}{2}(2-z)^2\Big|_1^2 =\frac{\pi}{2} \end{aligned}

and the flux

∬SF⋅n^ dS=π2+π=32π\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{\pi}{2} +\pi =\frac{3}{2}\pi \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 7번우리말 번역

(a) 벡터장 F=(z+sin⁡y,zy,sin⁡xcos⁡y)\mathbf{F} = (z + \sin y, zy, \sin x \cos y) 의 발산을 구하세요. (b) (a)의 벡터장 F\mathbf{F} 가 R3\mathbb{R}^3 에서 원점을 중심으로 하는 반지름이 33 인 구면을 바깥쪽으로 통과하는 플럭스를 구하세요.

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(a)
(b)
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(a) 발산은 다음과 같다.

∇⋅F=∂∂x(z+sin⁡y)+∂∂y(zy)+∂∂z(sin⁡xcos⁡y)=z\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &= \frac{\partial }{\partial x}\big(z+\sin y\big) +\frac{\partial }{\partial y}\left(zy\right) +\frac{\partial }{\partial z}\big(\sin x\cos y\big) \\ &= z \end{aligned}

(b) 다음과 같이 놓는다.

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+z2≤9 }\begin{aligned} V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2\le 9\ \big\} \end{aligned}

발산 정리에 의해 (구하는 것이 바깥쪽 플럭스임에 유의한다),

∬∂VF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV=∭Vz dV=0\begin{aligned} \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot \mathbf{F}\ \mathrm{d}V = \iiint _V z\ \mathrm{d}V = 0 \end{aligned}

이다. zz 가 홀함수이기 때문이다.

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