빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

구 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2 의 제1팔분공간 부분을 위쪽으로 통과하는 F=(y+xz)ı^+(y+yz)ȷ^−(2x+z2)k^\mathbf{F}=(y+xz)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y+yz)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(2x+z^2)\hat{\mathbf{k}} 의 선속을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the flux of F=(y+xz)ı^+(y+yz)ȷ^−(2x+z2)k^\mathbf{F}=(y+xz)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y+yz)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(2x+z^2)\hat{\mathbf{k}} upward through the first octant part of the sphere x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2.

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V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+z2≤a2,x≥0,y≥0, z≥0 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2\le a^2, x\ge 0, y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} 라 하자.

그림

그러면 ∂V\partial V 는 다음으로 이루어져 있다.

  • x=0x=0 인 면 { (x,y,z) ∣ y2+z2≤a2,x=0,y≥0, z≥0 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le a^2, x=0, y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} (법선 벡터는 n^=−ı^\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\imath}}),
  • y=0y=0 인 면 { (x,y,z) ∣ x2+z2≤a2,x≥0,y=0, z≥0 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+z^2\le a^2, x\ge 0, y= 0,\ z\ge 0\ \big\} (법선 벡터는 n^=−ȷ^\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\jmath}}),
  • z=0z=0 인 면 { (x,y,z) ∣ x2+y2≤a2,x≥0,y≥0, z=0 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le a^2, x\ge 0, y\ge 0,\ z= 0\ \big\} (법선 벡터는 n^=−k^\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}),
  • 그리고 구의 제1팔분공간 부분이다. 이를 SS 라 하자.

그러면

∭V∇⋅F dV=∭V[z+1+z−2z] dV=∭V dV=18 43πa3=16πa3∬z=0faceF⋅(−k^) dx dy=∬z=0face(2x+02) dx dy=2∫0adr r∫0π/2dθ rcos⁡θ=2∫0ar2 dr=2a33∬y=0faceF⋅(−ȷ^) dx dz=−∬y=0face(0+0z) dx dz=0∬x=0faceF⋅(−ı^) dy dz=∬x=0face−(y+0z) dy dz=−∫0adr r∫0π/2dθ rsin⁡θ=−∫0ar2 dr=−a33\begin{aligned} &\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V=\iiint _V\big[z+1+z-2z\big]\,\mathrm{d}V =\iiint _V \,\mathrm{d}V=\frac{1}{8}\ \frac{4}{3}\pi a^3=\frac{1}{6}\pi a^3\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}(2x+0^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =2\int_0^a dr\,r\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ r\cos\theta =2\int _0^a r^2\,dr =\frac{2a^3}{3}\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z =-\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}(0+0z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z =0\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}-(y+0z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =-\int_0^a dr\,r\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ r\sin\theta =-\int _0^a r^2\,dr=-\frac{a^3}{3} \end{aligned}

발산 정리에 의해

∬SF⋅n^ dx dy=∭V∇⋅F dV−∬x=0faceF⋅(−ı^) dy dz−∬y=0faceF⋅(−ȷ^) dx dz−∬z=0faceF⋅(−k^) dx dy=[π6−13]a3\begin{aligned} \iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\left[\frac{\pi}{6}-\frac{1}{3}\right]a^3 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Let V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+z2≤a2,x≥0,y≥0, z≥0 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2\le a^2, x\ge 0, y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\}.

figure

Then ∂V\partial V consists of

  • the x=0x=0 face { (x,y,z) ∣ y2+z2≤a2,x=0,y≥0, z≥0 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le a^2, x=0, y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} with normal n^=−ı^\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\imath}},
  • the y=0y=0 face { (x,y,z) ∣ x2+z2≤a2,x≥0,y=0, z≥0 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+z^2\le a^2, x\ge 0, y= 0,\ z\ge 0\ \big\} with normal n^=−ȷ^\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\jmath}},
  • the z=0z=0 face { (x,y,z) ∣ x2+y2≤a2,x≥0,y≥0, z=0 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le a^2, x\ge 0, y\ge 0,\ z= 0\ \big\} with normal n^=−k^\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}},
  • and the first octant part of the sphere. Call it SS.

Then

∭V∇⋅F dV=∭V[z+1+z−2z] dV=∭V dV=18 43πa3=16πa3∬z=0faceF⋅(−k^) dx dy=∬z=0face(2x+02) dx dy=2∫0adr r∫0π/2dθ rcos⁡θ=2∫0ar2 dr=2a33∬y=0faceF⋅(−ȷ^) dx dz=−∬y=0face(0+0z) dx dz=0∬x=0faceF⋅(−ı^) dy dz=∬x=0face−(y+0z) dy dz=−∫0adr r∫0π/2dθ rsin⁡θ=−∫0ar2 dr=−a33\begin{aligned} &\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V=\iiint _V\big[z+1+z-2z\big]\,\mathrm{d}V =\iiint _V \,\mathrm{d}V=\frac{1}{8}\ \frac{4}{3}\pi a^3=\frac{1}{6}\pi a^3\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}(2x+0^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =2\int_0^a dr\,r\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ r\cos\theta =2\int _0^a r^2\,dr =\frac{2a^3}{3}\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z =-\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}(0+0z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z =0\\ &\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}-(y+0z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =-\int_0^a dr\,r\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ r\sin\theta =-\int _0^a r^2\,dr=-\frac{a^3}{3} \end{aligned}

By the divergence theorem

∬SF⋅n^ dx dy=∭V∇⋅F dV−∬x=0faceF⋅(−ı^) dy dz−∬y=0faceF⋅(−ȷ^) dx dz−∬z=0faceF⋅(−k^) dx dy=[π6−13]a3\begin{aligned} \iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{x=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{y=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z -\iint _{\genfrac{}{}{0pt}{}{z=0}{\rm face}}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\left[\frac{\pi}{6}-\frac{1}{3}\right]a^3 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 30번우리말 번역

SS 를 구면 x2+y2+(z−1)2=4x^2+y^2+(z-1)^2=4 에서 xyxy평면 위쪽에 있는 부분이라 하자. SS 를 지나 바깥쪽으로 향하는 F=(x2+ey2) ı^+(ex2+y2) ȷ^+(4+5x) k^\mathbf{F}=(x^2+e^{y^2})\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(4+5x)\,\hat{\mathbf{k}} 의 플럭스를 구하세요.

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S′S' 를 원판 x2+y2≤3, z=0x^2+y^2\le 3,\ z=0 (이때 n^\hat{\mathbf{n}} 은 아래쪽을 향하는 법선벡터)이라 하고, VV 를 z≥0z\ge 0 인 공 x2+y2+(z−1)2≤4x^2+y^2+(z-1)^2\le 4 의 부분이라 하자. 그러면 발산 정리에 의해

∬SF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV−∬S′F⋅(−k^) dS=∭V(2x+2y) dV+∬S′(4+5x) dxdy\begin{aligned} \iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _{V}{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\, \mathrm{d}V -\iint _{S'}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _{V}(2x+2y)\, \mathrm{d}V +\iint _{S'}(4+5x)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

이다. xx 는 x→−xx\rightarrow-x 에 대해 홀함수이고 yy 는 y→−yy\rightarrow -y 에 대해 홀함수이므로,

∭Vx dV=∭Vy dV=∬S′x dxdy=0\iiint _{V}x\, \mathrm{d}V=\iiint _{V}y\, \mathrm{d}V=\iint _{S'}x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0

이고, 따라서

∬SF⋅n^ dS=4∬S′ dxdy=4 넓이(S′)=4×π(3)2=12π\begin{aligned} \iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =4\iint _{S'}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\,\text{넓이}(S') =4\times \pi\big(\sqrt{3}\big)^2=12\pi \end{aligned}

이다.

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# 발산 정리계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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