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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

(a) 벡터장 F=(x+sin⁡y,z+y,z2)\mathbf{F} = (x + \sin y, z + y, z^2) 의 발산을 구하세요. (b) 양의 zz 방향으로 향하도록 방향이 정해진 윗반구 x2+y2+z2=25x^2 + y^2 + z^2 = 25, z≥0z \ge 0 을 지나는 F\mathbf{F} 의 선속(플럭스)을 구하세요. (c) 선속 ∬SF⋅n^ dS\iint _S\mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S 가 −9-9 가 되는, 방향이 정해진 닫힌 곡면 SS 를 하나 제시하세요.

영어 원문 보기

(a) Find the divergence of the vector field F=(x+sin⁡y,z+y,z2)\mathbf{F} = (x + \sin y, z + y, z^2). (b) Find the flux of F\mathbf{F} through the upper hemisphere x2+y2+z2=25x^2 + y^2 + z^2 = 25, z≥0z \ge 0, oriented in the positive zz-direction. (c) Specify an oriented closed surface SS, such that the flux ∬SF⋅n^ dS\iint _S\mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S is equal to −9-9.

정답·풀이 보기

(a) F\mathbf{F} 의 발산은 다음과 같다.

∇⋅F=∂∂x(x+sin⁡y)+∂∂y(z+y)+∂∂z(z2)=2+2z\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &= \tfrac{\partial}{\partial x}(x+\sin y) +\tfrac{\partial}{\partial y}(z+y) +\tfrac{\partial}{\partial z}(z^2) \\ &=2+2z \end{aligned}

(b) 다음과 같이 놓자.

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤25, 0≤z≤25−x2−y2 }ST={ (x,y,z) ∣ x2+y2+z2=25, z≥0 }SB={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤25, z=0 }\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 25,\ 0\le z\le \sqrt{25-x^2-y^2}\ \big\} \\ S_T &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2 = 25,\ z\ge 0\ \big\} \\ S_B &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2 \le 25,\ z= 0\ \big\} \end{aligned}

VV 의 경계 ∂V\partial V 는 두 부분, 즉 위쪽 법선을 갖는 STS_T 와 법선이 −k^-\hat{\mathbf{k}} 인 SBS_B 로 이루어져 있음에 주목하자. 우리가 구할 것은 위쪽 법선을 갖는 STS_T 를 지나는 선속이다. 발산 정리에 의해 이는 다음과 같다.

∬STF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV−∬SBF⋅(−k^) dS=∭V(2+2z) dV\begin{aligned} \iint _{S_T} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V - \iint _{S_B} \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= \iiint _V (2+2z)\,\mathrm{d}V \end{aligned}

SBS_B 위에서 F⋅k^=z2=0\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}=z^2=0 이기 때문이다. 이 부피적분을 zz 에 대한 적분이 바깥쪽에 오는 반복적분으로 나타내어 계산하자. VV 에서 zz 는 00 부터 55 까지의 값을 가진다. VV 에서 높이가 정확히 zz 인 점들의 집합은 { (x,y,z) ∣ x2+y2≤25−z2 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 25-z^2\ \big\} 이다. 따라서

∬STF⋅n^ dS=∫05dz∬x2+y2≤25−z2dx dy (2+2z)=∫05dz (2+2z)∬x2+y2≤25−z2dx dy=∫05dz π(25−z2)(2+2z)∬x2+y2≤25−z2dx dy 는 반지름이 25−z2 인 원판의 넓이이므로=π∫05dz (50−2z2+50z−2z3)=π(50×5−2533+50522−2544)=π53(2−23+5−52)=π 53(43+52)=π23653=28756π\begin{aligned} \iint _{S_T} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \int_0^5\mathrm{d}z \iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\ (2+2z) = \int_0^5\mathrm{d}z\ (2+2z)\iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &= \int_0^5\mathrm{d}z\ \pi(25-z^2) (2+2z) \\ \\ \text{$\iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 반지름이 $\sqrt{25-z^2}$ 인 원판의 넓이이므로} \\ &= \pi\int_0^5\mathrm{d}z\ (50 -2z^2 +50z -2z^3) \\ &=\pi\Big(50\times 5-2\frac{5^3}{3} +50\frac{5^2}{2}-2\frac{5^4}{4}\Big) =\pi 5^3 \Big(2-\frac{2}{3} +5-\frac{5}{2}\Big) = \pi\,5^3 \Big(\frac{4}{3}+\frac{5}{2}\Big) \\ &=\pi\frac{23}{6} 5^3 =\frac{2875}{6}\pi \end{aligned}

(c) 먼저 입체 VV 의 경계인 임의의 닫힌 곡면 SS 를 생각하자. 다음과 같이 쓴다.

  • SS 의 법선은 바깥쪽을 향하는 것을 사용한다.
  • ∣V∣|V| 는 VV 의 부피를 나타낸다.
  • zˉ=1∣V∣∭Vz dV\bar z=\frac{1}{|V|}\iiint _V z\ \mathrm{d}V 는 VV 의 무게중심 (즉 밀도가 상수인 질량중심)의 zz 성분을 나타낸다.

그러면 발산 정리에 의해

∬SF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV=∭V(2+2z) dV=2∭V dV+2∭Vz dV=2∣V∣+2∣V∣zˉ\begin{aligned} \iint _{S} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iiint _V (2+2z)\,\mathrm{d}V =2\iiint _V \,\mathrm{d}V +2\iiint _V z\,\mathrm{d}V \\ &=2|V| +2|V|\bar z \end{aligned}

이 값이 −9-9 가 될 필요충분조건은

2∣V∣zˉ=−9−2∣V∣  ⟺  zˉ=−92∣V∣−1\begin{aligned} 2|V|\bar z =-9-2|V| \iff \bar z = -\frac{9}{2|V|}-1 \end{aligned}

이 조건을 만족하는 곡면의 하나는 (0,0,−112)\big(0,0, -\frac{11}{2}\big) 을 중심으로 하는 (바깥쪽 법선을 갖는) 단위 정육면체이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The divergence of F\mathbf{F} is

∇⋅F=∂∂x(x+sin⁡y)+∂∂y(z+y)+∂∂z(z2)=2+2z\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &= \tfrac{\partial}{\partial x}(x+\sin y) +\tfrac{\partial}{\partial y}(z+y) +\tfrac{\partial}{\partial z}(z^2) \\ &=2+2z \end{aligned}

(b) Set

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤25, 0≤z≤25−x2−y2 }ST={ (x,y,z) ∣ x2+y2+z2=25, z≥0 }SB={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤25, z=0 }\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 25,\ 0\le z\le \sqrt{25-x^2-y^2}\ \big\} \\ S_T &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2 = 25,\ z\ge 0\ \big\} \\ S_B &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2 \le 25,\ z= 0\ \big\} \end{aligned}

Note that the boundary, ∂V\partial V, of VV consists ot two parts — STS_T with upward normal, and SBS_B with normal −k^-\hat{\mathbf{k}}. We are to find the flux through STS_T with upward normal. By the divergence theorem, it is

∬STF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV−∬SBF⋅(−k^) dS=∭V(2+2z) dV\begin{aligned} \iint _{S_T} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V - \iint _{S_B} \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= \iiint _V (2+2z)\,\mathrm{d}V \end{aligned}

since F⋅k^=z2=0\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}=z^2=0 on SBS_B. We'll compute the volume integral by expressing it as an iterated integral, with the zz integration on the outside. In VV, zz ranges for 00 to 55. The set of points at exactly height zz in VV is { (x,y,z) ∣ x2+y2≤25−z2 }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 25-z^2\ \big\}. So

∬STF⋅n^ dS=∫05dz∬x2+y2≤25−z2dx dy (2+2z)=∫05dz (2+2z)∬x2+y2≤25−z2dx dy=∫05dz π(25−z2)(2+2z)since ∬x2+y2≤25−z2dx dy is the area of a disk of radius 25−z2=π∫05dz (50−2z2+50z−2z3)=π(50×5−2533+50522−2544)=π53(2−23+5−52)=π 53(43+52)=π23653=28756π\begin{aligned} \iint _{S_T} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \int_0^5\mathrm{d}z \iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\ (2+2z) = \int_0^5\mathrm{d}z\ (2+2z)\iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &= \int_0^5\mathrm{d}z\ \pi(25-z^2) (2+2z) \\ \\ \text{since $\iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is the area of a disk of radius $\sqrt{25-z^2}$} \\ &= \pi\int_0^5\mathrm{d}z\ (50 -2z^2 +50z -2z^3) \\ &=\pi\Big(50\times 5-2\frac{5^3}{3} +50\frac{5^2}{2}-2\frac{5^4}{4}\Big) =\pi 5^3 \Big(2-\frac{2}{3} +5-\frac{5}{2}\Big) = \pi\,5^3 \Big(\frac{4}{3}+\frac{5}{2}\Big) \\ &=\pi\frac{23}{6} 5^3 =\frac{2875}{6}\pi \end{aligned}

(c) To start, consider any closed surface SS that is the boundary of a solid VV. Use

  • the outward pointing normal for SS,
  • ∣V∣|V| to denote the volume of VV, and
  • zˉ=1∣V∣∭Vz dV\bar z=\frac{1}{|V|}\iiint _V z\ \mathrm{d}V to denote the zz-component of the centroid (i.e. centre of mass with constant density) of VV.

Then, by the divergence theorem

∬SF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV=∭V(2+2z) dV=2∭V dV+2∭Vz dV=2∣V∣+2∣V∣zˉ\begin{aligned} \iint _{S} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iiint _V (2+2z)\,\mathrm{d}V =2\iiint _V \,\mathrm{d}V +2\iiint _V z\,\mathrm{d}V \\ &=2|V| +2|V|\bar z \end{aligned}

This takes the value −9-9 if and only if

2∣V∣zˉ=−9−2∣V∣  ⟺  zˉ=−92∣V∣−1\begin{aligned} 2|V|\bar z =-9-2|V| \iff \bar z = -\frac{9}{2|V|}-1 \end{aligned}

One surface which obeys this condition is the unit cube (with outward normal) centred on (0,0,−112)\big(0,0, -\frac{11}{2}\big).

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