발산 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.2절 · 50번

CLP-4 · 4.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

매끄러운 곡면 $\mathcal{S}$ 가 평면 $z=0$ 위쪽에 놓여 있고, 평면 $z=0$ 위의 원 $x^2+y^2=4y$ 를 경계로 가진다. 이 원은 또한 그 평면 위의 원판 $D$ 의 경계이기도 하다. $\mathcal{S}$ 와 $D$ 로 둘러싸인 3차원 영역 $R$ 의 부피는 10 세제곱단위이다. $\mathbf{F}(x,y,z)=(x+x^2y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y-xy^2)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(z+2x+3y)\hat{\mathbf{k}}$ 의 $R$ 에서 바깥쪽 방향으로 $\mathcal{S}$ 를 지나는 플럭스를 구하세요.

영어 원문 보기

A smooth surface $\mathcal{S}$ lies above the plane $z=0$ and has as its boundary the circle $x^2+y^2=4y$ in the plane $z=0$ . This circle also bounds a disk $D$ in that plane. The volume of the 3-dimensional region $R$ bounded by $\mathcal{S}$ and $D$ is 10 cubic units. Find the flux of $\mathbf{F}(x,y,z)=(x+x^2y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y-xy^2)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(z+2x+3y)\hat{\mathbf{k}}$ through $\mathcal{S}$ in the direction outward from $R$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원 $x^2+y^2=4y$ , 즉 $x^2+(y-2)^2=4$ 는 반지름이 $2$ 이고 중심이 $(0,2)$ 이다. 아랫면에서는 $z=0$ 이고 바깥쪽 법선벡터는 $-\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =-\iint _D(2x+3y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 이다. 대칭성에 의해 원판의 무게중심 $(\bar x,\bar y)$ 는 $(0,2)$ 이다. 여기서 $\bar x$ 와 $\bar y$ 는 평균값

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint _D \mathrm{d}x\mathrm{d}y}\qquad \bar y = \frac{\iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint _D \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \end{aligned}$

이며, 각각 $D$ 위에서 $x$ 와 $y$ 의 평균값이다. 원판 $D$ 의 넓이가 $4\pi$ 이므로

$\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar x =0\qquad \iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar y =8\pi$

이고 $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-4\pi(2\bar x+3\bar y) =-4\pi(2\times 0+3\times 2) =-24\pi$ 이다. 또한

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &=\frac{\partial }{\partial x}(x+x^2y) +\frac{\partial }{\partial y}(y-xy^2) +\frac{\partial }{\partial z}(z+2x+3y) =(1+2xy)+(1-2xy)+(1)\\ &=3 \end{aligned}$

이므로 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _R{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V -\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _R3\ \mathrm{d}V -(-24\pi) =3\text{Vol}(R)+24\pi =3\times10+24\pi \\ &=30+24\pi \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The circle $x^2+y^2=4y$ , or equivalently, $x^2+(y-2)^2=4$ , has radius $2$ and centre $(0,2)$ . On the bottom surface, $z=0$ and the outward normal is $-\hat{\mathbf{k}}$ , so that $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =-\iint _D(2x+3y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ By symmetry, the centre of mass, $(\bar x,\bar y)$ , of the circle is $(0,2)$ . Here $\bar x$ and $\bar y$ are the average values

of $x$ and $y$ over $D$ . As the disk $D$ has area $4\pi$ ,

$\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar x =0\qquad \iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar y =8\pi$

and $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-4\pi(2\bar x+3\bar y) =-4\pi(2\times 0+3\times 2) =-24\pi$ As

the divergence theorem gives

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 45번우리말 번역

$S$ 가 바깥쪽 법선장 $\hat{\mathbf{n}}$ 을 갖는 매끄러운 닫힌 곡면이면, $\mathbb{R}^3$ 에서 정의된 임의의 매끄러운 함수 $p(x,y,z)$ 에 대해 다음이 성립함을 기억하세요.

$\iint _S p\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}s=\iiint _E \nabla p\ \mathrm{d}V$

여기서 $E$ 는 $S$ 로 둘러싸인 입체입니다. 이 결과로부터, 상수 압력의 기체 속에 놓인 입체의 겉면에 작용하는 전체 힘이 0임을 보이세요. (압력은 곡면에 수직인 방향으로 작용함을 기억하세요.)

다 풀었으면 정답 확인

압력은 곡면 안쪽으로 수직하게 작용하는, 단위 겉넓이당 힘이다. 따라서 단위 겉넓이당 힘은 $-p\hat{\mathbf{n}}$ 이다. $S$ 에 작용하는 전체 힘은

$-\iint _S p\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=-\iiint _E \nabla p\ \mathrm{d}V$

이다. $p$ 가 상수라고 가정하므로 $\nabla p=0$ 이고, 따라서 전체 힘은 0이다.

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