그린 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.3절 · 10번

CLP-4 · 4.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 두자.

$\mathbf{F}(x, y) = \big(y^2 - e^{-y^2} + \sin x\,,\, 2xye^{-y^2} + x\big)$

$C$ 를 꼭짓점이 $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(1, 2)$ 인 삼각형의 경계라 하고, 방향은 반시계 방향이라 하자. 다음 값을 구하세요.

$\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

영어 원문 보기

Let

$\mathbf{F}(x, y) = \big(y^2 - e^{-y^2} + \sin x\,,\, 2xye^{-y^2} + x\big)$

Let $C$ be the boundary of the triangle with vertices $(0, 0)$ , $(1, 0)$ and $(1, 2)$ , oriented counter-clockwise. Compute

$\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

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직접 계산에 쓰일 적분은 매우 복잡해 보인다. 그러므로 그린 정리를 써 보자. 곡선 $C$ 는 다음 삼각형의 경계이다.

$T = \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x\le 1, 0\le y\le 2x\ \big\}$

따라서

$\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &= \int_C \big\{\big(y^2 - e^{-y^2} + \sin x\big)\mathrm{d}x +\big(2xye^{-y^2} + x\big)\mathrm{d}y\big\} \\ &= \iint _T \big\{ \tfrac{\partial}{\partial x}\big(2xye^{-y^2} + x\big) -\tfrac{\partial}{\partial y}\big(y^2 - e^{-y^2} + \sin x\big) \big\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint _T \big\{ \big(2ye^{-y^2} + 1\big) - \big(2y +2y e^{-y^2} \big) \big\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{2x}\mathrm{d}y\ \big\{1-2y\big\} \\ &= \int_0^1\mathrm{d}x\ \big\{2x-4x^2\big\} \\ &=1-\frac{4}{3} = -\frac{1}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integral that would be used for direct evaluation looks very complicated. So let's try Green's theorem. The curve $C$ is the boundary of the triangle

$T = \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x\le 1, 0\le y\le 2x\ \big\}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.3절 · 12번우리말 번역

$\begin{aligned} \mathbf{F}(x,y) = \big(\tfrac{3}{2}y^2 + e^{-y} +\sin x\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big(\tfrac{1}{2}x^2+x-x e^{-y}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

라 하자. 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,-2)$ , $(1,2)$ 인 삼각형의 경계를 $C$ 라 하고, $C$ 의 방향이 시계 반대 방향일 때 $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

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직접 계산하면 삼각형의 세 변에 대해 각각 하나씩 모두 세 개의 적분이 나온다. $(0,0)$ 에서 $(1,-2)$ 까지의 적분과 $(1,2)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 적분에는 각각 (상수가 아닌) 항이 여섯 개씩 들어 있다. 이는 그다지 효율적으로 보이지 않는다. 그러므로 그린 정리를 이용해 보자. 삼각형을 $T$ 라 하면

$T = \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ -2x\le y\le 2x\ \big\} {-50pt}[40pt][40pt]{ ![그림](clp/clp4-OE06A_4.png) }$

이다. $T$ 의 경계는 $\partial T=C$ 이며, 원하는 대로 시계 반대 방향이다. 따라서 그린 정리에 의해

$\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &= \int_{\partial T} \big\{\big(\tfrac{3}{2}y^2 + e^{-y} +\sin x\big)\mathrm{d}x +\big(\tfrac{1}{2}x^2+x-x e^{-y}\big)\mathrm{d}y\big\} \\ &= \iint _T \big\{ \tfrac{\partial}{\partial x}\big(\tfrac{1}{2}x^2+x-x e^{-y}\big) -\tfrac{\partial}{\partial y}\big(\tfrac{3}{2}y^2 + e^{-y} +\sin x\big) \big\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint _T \big\{ \big(x + 1-e^{-y}\big) - \big(3y - e^{-y} \big) \big\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint _T \big\{ x -3y + 1 \big\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$

이다. 이제

$\begin{aligned} \iint _T \mathrm{d}x\mathrm{d}y &=\text{넓이}(T) = \frac{1}{2}(4)(1) = 2 \\ \iint _T y\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y &= 0 \qquad\text{$y\rightarrow-y$ 일 때 $y$ 는 기함수이므로} \\ \iint _T x\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{-2x}^{2x} \mathrm{d}y\ x =\int_0^1 4x^2\ \mathrm{d}x =\frac{4}{3} \end{aligned}$

이다. 그러므로

$\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{4}{3}-3\times 0 +2 =\frac{10}{3}$

이 문제로 이어서 풀기

# 그린 정리계산보통자동 분류