빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

스토크스 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

(a) R3\mathbb{R}^3 에서 벡터장 F(x,y,z)=(z2,x2,y2)\mathbf{F}(x, y, z) = (z^2 , x^2 , y^2) 을 생각하세요. 선적분 ∮CF⋅dr\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} 의 값을 구하세요. 여기서 CC 는 세 선분으로 이루어진 곡선으로, L1L_1 은 (2,0,0)(2, 0, 0) 에서 (0,2,0)(0, 2, 0) 까지, 이어서 L2L_2 는 (0,2,0)(0, 2, 0) 에서 (0,0,2)(0, 0, 2) 까지, 마지막으로 L3L_3 은 (0,0,2)(0, 0, 2) 에서 (2,0,0)(2, 0, 0) 까지이다. (b) 단순닫힌곡선 CC 가 평면 x+y+z=2x + y + z = 2 위에 놓여 있다. 이 곡선 CC 가 평면 x+y+z=2x + y + z = 2 안에서 둘러싸는 곡면의 넓이는 33 이다. 곡선 CC 는 양의 xx축 쪽에서 볼 때 시계 반대 방향으로 향하도록 정해져 있다. F\mathbf{F} 가 (a)와 같을 때, 선적분 ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Consider the vector field F(x,y,z)=(z2,x2,y2)\mathbf{F}(x, y, z) = (z^2 , x^2 , y^2) in R3\mathbb{R}^3. Compute the line integral ∮CF⋅dr\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}, where CC is the curve consisting of the three line segments, L1L_1 from (2,0,0)(2, 0, 0) to (0,2,0)(0, 2, 0), then L2L_2 from (0,2,0)(0, 2, 0) to (0,0,2)(0, 0, 2), and finally L3L_3 from (0,0,2)(0, 0, 2) to (2,0,0)(2, 0, 0). (b) A simple closed curve CC lies in the plane x+y+z=2x + y + z = 2. The surface this curve CC surrounds inside the plane x+y+z=2x + y + z = 2 has area 33. The curve CC is oriented in a counterclockwise direction as observed from the positive x-axis. Compute the line integral ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} , where F\mathbf{F} is as in (a).

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 세 꼭짓점 (2,0,0)(2,0,0), (0,2,0)(0,2,0), 0,0,2)0,0,2) 이 모두 평면 x+y+z=2x+y+z=2 위에 있다. 따라서 경로 전체도 그 평면 위에 있다.

그림

(b)에서는 직접 계산할 수 없는 선적분을 구해야 하므로 스토크스 정리를 써야 한다. 그러므로 (a)에서도 스토크스 정리를 쓰자. 먼저

∇×F=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂zz2x2y2]=2y ı^+2z ȷ^+2x ı^\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ z^2 & x^2 & y^2 \end{matrix} \right] =2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} \end{aligned}

을 얻는다.

SS 를 평면 x+y+z=2x+y+z=2 에 포함되고 L1L_1, L2L_2, L3L_3 으로 둘러싸인 삼각형 모양의 곡면이라 하자. SS 의 방향은 법선벡터 n^=13(ı^+ȷ^+k^)\hat{\mathbf{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}) 로 정한다. 그러면

∇×F⋅n^=13(2y ı^+2z ȷ^+2x ı^)⋅(ı^+ȷ^+k^)=23(x+y+z){ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\big(2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}\big)\cdot(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}) =\frac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z)

이고, 스토크스 정리에 의해

∮CF⋅dr=∬S∇×F⋅n^ dS=23∬S(x+y+z) dS=43∬SdS=43Area(S)\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{2}{\sqrt{3}}\iint _S(x+y+z)\,\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\iint _S\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\text{Area}(S) \end{aligned}

이다.

삼각형 SS 는 두 변이 (0,2,0)−(2,0,0)=(−2,2,0)(0,2,0)-(2,0,0) =(-2,2,0) 과 (0,0,2)−(2,0,0)=(−2,0,2)(0,0,2)-(2,0,0)=(-2,0,2) 인 평행사변형의 절반이다. 이 평행사변형의 넓이는

∣(−2,2,0)×(−2,0,2)∣=∣(4,4,4)∣=43\begin{aligned} \big|(-2,2,0)\times (-2,0,2)\big| =\big|(4,4,4)\big| =4\sqrt{3} \end{aligned}

이다.

따라서

∮CF⋅dr=4323=8\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{4}{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} =8 \end{aligned}

이다.

(b) S~\tilde S 를 주어진 곡면이라 하자. 그러면 (a)와 같이

∮CF⋅dr=∬S~∇×F⋅n^ dS=23∬S~(x+y+z) dS=43∬S~dS=43Area(S~)=43\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _{\tilde S}{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{2}{\sqrt{3}}\iint _{\tilde S}(x+y+z)\,\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\iint _{\tilde S}\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\text{Area}(\tilde S) \\ &=4\sqrt{3} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Note that all three vertices, (2,0,0)(2,0,0), (0,2,0)(0,2,0) and 0,0,2)0,0,2), lie in the plane x+y+z=2x+y+z=2. So the entire path lies in that plane too.

figure

In part (b) we will need to evaluate a line integral that clearly cannot be computed directly — we will need to use Stokes' theorem. So let's use Stokes's theorem in part (a) too. First, we find

∇×F=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂zz2x2y2]=2y ı^+2z ȷ^+2x ı^\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ z^2 & x^2 & y^2 \end{matrix} \right] =2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} \end{aligned}

Let SS be the triangular surface that is contained in the plane x+y+z=2x+y+z=2 and is bounded by L1L_1, L2L_2 and L3L_3. Orient SS by the normal vector n^=13(ı^+ȷ^+k^)\hat{\mathbf{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}). Then,

∇×F⋅n^=13(2y ı^+2z ȷ^+2x ı^)⋅(ı^+ȷ^+k^)=23(x+y+z){ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\big(2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2z\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}\big)\cdot(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}) =\frac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z)

and, by Stokes' theorem,

∮CF⋅dr=∬S∇×F⋅n^ dS=23∬S(x+y+z) dS=43∬SdS=43Area(S)\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{2}{\sqrt{3}}\iint _S(x+y+z)\,\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\iint _S\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\text{Area}(S) \end{aligned}

The triangle SS is half of the prallelogram with sides (0,2,0)−(2,0,0)=(−2,2,0)(0,2,0)-(2,0,0) =(-2,2,0) and (0,0,2)−(2,0,0)=(−2,0,2)(0,0,2)-(2,0,0)=(-2,0,2). The area of the parallelogram is

∣(−2,2,0)×(−2,0,2)∣=∣(4,4,4)∣=43\begin{aligned} \big|(-2,2,0)\times (-2,0,2)\big| =\big|(4,4,4)\big| =4\sqrt{3} \end{aligned}

So

∮CF⋅dr=4323=8\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{4}{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} =8 \end{aligned}

(b) Let S~\tilde S be the specified surface. Then, as in part (a),

∮CF⋅dr=∬S~∇×F⋅n^ dS=23∬S~(x+y+z) dS=43∬S~dS=43Area(S~)=43\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _{\tilde S}{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{2}{\sqrt{3}}\iint _{\tilde S}(x+y+z)\,\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\iint _{\tilde S}\mathrm{d}S =\frac{4}{\sqrt{3}}\text{Area}(\tilde S) \\ &=4\sqrt{3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 27번우리말 번역

SS 를 꼭짓점이 (±1,±1,±1)(\pm 1,\pm1,\pm1) 인 정육면체의 윗면과 네 옆면으로 이루어진, 바깥쪽으로 향하도록 방향이 주어진 곡면이라 하자. F(x,y,z)=(xyz,xy2,x2yz)\mathbf{F}(x,y,z)=(xyz,xy^2,x^2yz) 일 때, SS 를 통과하는 ∇×F{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} 의 선속을 구하세요.

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풀이 1: S′S' 을 정육면체의 아랫면이라 하고, 법선벡터 k^\hat{\mathbf{k}} 로 방향을 정하자. 그러면 ∂S=∂S′\partial S=\partial S' 이므로 스토크스 정리에 의해

∬S∇×F⋅n^ dS=∮∂SF⋅dr=∮∂S′F⋅dr=∬S′∇×F⋅n^ dS\iint _S{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S =\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\oint_{\partial S'}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\iint _{S'}{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S

이다.

∇×F=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂zxyzxy2x2yz]=(⋯ , ⋯ , y2−xz)\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\[0.05in] \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\[0.05in] xyz & xy^2 & x^2yz \end{matrix}\right] =\big(\cdots\,,\,\cdots\,,\,y^2-xz\big) \end{aligned}

이고 S′S' 위에서 n^=k^\hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}} 이며 S′S' 위에서 z=−1z=-1 이므로

∬S′∇×F⋅n^ dS=∫−11dx∫−11dy (⋯ ,⋯ ,y2−xz)⋅k^∣z=−1=∫−11dx∫−11dy (y2+x)=∫−11dx∫−11dy y2=2×2∫01dy y2=43\begin{aligned} \iint _{S'}{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\int_{-1}^1 \mathrm{d}x\int_{-1}^1 \mathrm{d}y\ \big(\cdots,\cdots,y^2-xz\big)\cdot\hat{\mathbf{k}}\Big|_{z=-1} =\int_{-1}^1 \mathrm{d}x\int_{-1}^1 \mathrm{d}y\ (y^2+x) \\ &=\int_{-1}^1 \mathrm{d}x\int_{-1}^1 \mathrm{d}y\ y^2 =2\times 2\int_0^1\mathrm{d}y\ y^2 =\frac{4}{3} \end{aligned}

이다.

풀이 2: SS 의 경계는 아래 그림과 같이 변 C1C_1, ⋯\cdots, C4C_4 로 이루어진 정사각형 CC 이다.

그림

스토크스 정리에 의해

∬S∇×F⋅n^ dS=∮CF⋅dr\iint _S{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S =\oint_{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}

이다.

C1C_1 을 xx 로 매개화하자. 즉 r(x)=xı^−ȷ^−k^\mathbf{r}(x)= x\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}, −1≤x≤1-1\le x\le 1 이다. r′(x)=ı^\mathbf{r}'(x) = \hat{\boldsymbol{\imath}} 이고 C1C_1 위에서 y=z=−1y=z=-1 이므로

∫C1F⋅dr=∫−11F(r(x))⋅r′(x) dx=∫−11F(r(x))⋅ı^ dx=∫−11x(−1)(−1)⏞xyz dx=0(x 는 홀함수이므로)\begin{aligned} \int_{C_1}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_{-1}^1 \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(x)\big)\cdot\mathbf{r}'(x)\ \mathrm{d}x =\int_{-1}^1 \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(x)\big)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x =\int_{-1}^1\overbrace{x(-1)(-1)}^{xyz}\ \mathrm{d}x \\ &=0\qquad\text{($x$ 는 홀함수이므로)} \end{aligned}

이다.

C2C_2 를 yy 로 매개화하자. 즉 r(y)=ı^+y ȷ^−k^\mathbf{r}(y)= \hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}, −1≤y≤1-1\le y\le 1 이다. r′(y)=ȷ^\mathbf{r}'(y) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고 C2C_2 위에서 x=1x=1 이므로

∫C2F⋅dr=∫−11F(r(y))⋅ȷ^ dy=∫−11y2⏞xy2 dy=[y33]−11=23\begin{aligned} \int_{C_2}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\int_{-1}^1 \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(y)\big)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}\ \mathrm{d}y =\int_{-1}^1\overbrace{y^2}^{xy^2}\ \mathrm{d}y =\left[\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^1 =\frac{2}{3} \end{aligned}

이다.

C3C_3 을 xx 로 매개화하자. 즉 r(x)=xı^+ȷ^−k^\mathbf{r}(x)= x\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}} 이고 xx 는 11 에서 −1-1 까지 변한다. (이것이 불안하면 t=−xt=-x 로 매개화하라. 즉 r(t)=−t ı^+ȷ^−k^\mathbf{r}(t)= -t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}, −1≤t≤1-1\le t\le 1 이다.) r′(x)=ı^\mathbf{r}'(x) = \hat{\boldsymbol{\imath}} 이고 C3C_3 위에서 y=1y=1, z=−1z=-1 이므로

∫C3F⋅dr=∫1−1F(r(x))⋅ı^ dx=∫1−1x (1)(−1)⏞xyz dx=0(x 는 홀함수이므로)\begin{aligned} \int_{C_3}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\int^{-1}_1 \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(x)\big)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x =\int^{-1}_1\overbrace{x\ (1)(-1)}^{xyz}\ \mathrm{d}x =0\qquad\text{($x$ 는 홀함수이므로)} \end{aligned}

이다.

C4C_4 를 yy 로 매개화하자. 즉 r(y)=−ı^+y ȷ^−k^\mathbf{r}(y)= -\hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}} 이고 yy 는 11 에서 −1-1 까지 변한다. r′(y)=ȷ^\mathbf{r}'(y) = \hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고 C4C_4 위에서 x=−1x=-1 이므로

∫C4F⋅dr=∫1−1F(r(y))⋅ȷ^ dy=∫1−1(−1)y2⏞xy2 dy=−[y33]1−1=23\begin{aligned} \int_{C_4}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\int^{-1}_1 \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(y)\big)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}\ \mathrm{d}y =\int^{-1}_1\overbrace{(-1)y^2}^{xy^2}\ \mathrm{d}y =-\left[\frac{y^3}{3}\right]^{-1}_1 =\frac{2}{3} \end{aligned}

이다.

모두 합하면

∬S∇×F⋅n^ dS=∫C1F⋅dr+∫C2F⋅dr+∫C3F⋅dr+∫C4F⋅dr=43\iint _S{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S =\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} + \int_{C_2}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} +\int_{C_3}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} + \int_{C_4}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\frac{4}{3}

이다.

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