스토크스 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.4절 · 19번

CLP-4 · 4.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

$C$ 를 방향이 주어진 곡선이라 하자. 이 곡선은 5개의 선분으로 이루어져 있으며, 각각 $(0, 0, 0)$ 에서 $(0, 1, 1)$ 로, $(0, 1, 1)$ 에서 $(0, 1, 2)$ 로, $(0, 1, 2)$ 에서 $(0, 2, 0)$ 로, $(0, 2, 0)$ 에서 $(2, 2, 0)$ 로, $(2, 2, 0)$ 에서 $(0, 0, 0)$ 으로 가는 경로이다. 또한

$\mathbf{F} = (-y+e^x\sin x)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +y^4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{z}\tan z\,\hat{\mathbf{k}}$

라 하자. 이때 적분 $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $C$ be the oriented curve consisting of the 5 line segments which form the paths from $(0, 0, 0)$ to $(0, 1, 1)$ , from $(0, 1, 1)$ to $(0, 1, 2)$ , from $(0, 1, 2)$ to $(0, 2, 0)$ , from $(0, 2, 0)$ to $(2, 2, 0)$ , and from $(2, 2, 0)$ to $(0, 0, 0)$ . Let

$\mathbf{F} = (-y+e^x\sin x)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +y^4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\sqrt{z}\tan z\,\hat{\mathbf{k}}$

Evaluate the integral $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ .

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정답·풀이 보기

복잡한 벡터장을 비교적 복잡한 닫힌곡선을 따라 선적분하는 문제이다. 따라서 적분을 직접 계산하려 해서는 안 됨을 알 수 있다. 스토크스 정리가 유용한지 알아보기 위해 회전을 계산해 보자.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\[0.05in] -y+e^x\sin x & y^4 & \sqrt{z}\tan z \end{matrix} \right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이 결과는 시사하는 바가 있다. 다음으로 $C$ 를 경계로 하는 곡면을 찾아야 한다. 먼저 $C$ 의 개형은 다음과 같다.

곡면 $S$ 를 평평한 두 부분의 합집합으로 택할 수 있다.

$yz$ 평면 위에 있고 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,1,1)$ , $(0,1,2)$ , $(0,2,0)$ 인 사각형 $Q$
$xy$ 평면 위에 있고 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(2,2,0)$ 인 삼각형 $T$

$Q$ 의 법선벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이고 $T$ 의 법선벡터는 $-\hat{\mathbf{k}}$ 이다. 그러면 스토크스 정리에 의해 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &=\iint _Q \hat{\mathbf{k}}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S + \iint _T \hat{\mathbf{k}}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= - \iint _T \mathrm{d}S \\ &=-\text{넓이}(T) \\ &= -\tfrac{1}{2}\overbrace{2}^{\text{밑변}}\overbrace{2}^{\text{높이}} \\ &=-2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We are to evaluate the line integral of a complicated vector field around a relatively complicated closed curve. That certainly suggests that we should not try to evaluate the integral directly. To see if Stokes' theorem looks promising, let's compute the curl

That's suggestive. Next we need to find a surface whose boundary is $C$ . First, here is a sketch of $C$ .

We can choose the surface $S$ to be the union of two flat parts:

the quadralateral $Q$ in the $yz$ -plane with vertices $(0,0,0)$ , $(0,1,1)$ , $(0,1,2)$ and $(0,2,0)$ and
the triangle $T$ in the $xy$ -plane with vertices $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ and $(2,2,0)$ .

The normal to $Q$ is $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ and the normal to $T$ is $-\hat{\mathbf{k}}$ . Then Stokes' theorem gives

$\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &=\iint _Q \hat{\mathbf{k}}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S + \iint _T \hat{\mathbf{k}}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= - \iint _T \mathrm{d}S \\ &=-\text{Area}(T) \\ &= -\tfrac{1}{2}\overbrace{2}^{\text{base}}\overbrace{2}^{\text{height}} \\ &=-2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 5번우리말 번역

$\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\mathbf{F}=ye^x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x+e^x)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z^2\,\hat{\mathbf{k}}$ 이고 $C$ 는 다음 곡선입니다.

$\mathbf{r}(t)=(1+\cos t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(1+\sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(1-\sin t-\cos t)\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le t\le 2\pi$

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다 풀었으면 정답 확인

스토크스 정리를 적용한다. 먼저,

${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\[0.05in] \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\[0.05in] ye^x & x+e^x & z^2 \end{matrix}\right] =\big(1+e^x-e^x\big)\,\hat{\mathbf{k}} =\hat{\mathbf{k}}$

$\mathbf{r}(t) = x(t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y(t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +z(t)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는 모든 $t$ 에 대해 $x(t)+y(t)+z(t)=3$ 을 만족하고, $x(t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y(t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} =(1+\cos t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(1+\sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 는 $(1,1)$ 을 중심으로 하는 반지름 1인 원을 따라 반시계 방향으로 돈다는 점에 주목한다. 따라서 $S$ 를 평면 $G(x,y,z)=x+y+z=3$ 중 $(x-1)^2+(y-1)^2\le 1$ 인 부분으로 택한다. 그러면 스토크스 정리에 의해

$\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _S \hat{\mathbf{k}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$

이고,

$\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = \pm \frac{{ \boldsymbol{\nabla} } G}{{ \boldsymbol{\nabla} } G\cdot\hat{\mathbf{k}}}\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y = \pm\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\big)\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y$

이다. $(1+\cos t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(1+\sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 가 원 $(x-1)^2+(y-1)^2\le 1$ 을 따라 반시계 방향으로 돌므로, 스토크스 정리에 의해 부호는 플러스이고

$\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\iint _{(x-1)^2+(y-1)^2\le 1} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\pi$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 스토크스 정리계산보통자동 분류