스토크스 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.4절 · 29번

CLP-4 · 4.4절 · 29번대학 수준우리말 번역

$C$ 를 $x+2y-z=7$ 과 $x^2-2x+4y^2=15$ 의 교선이라 하자. 곡선 $C$ 는 $z$ 축 위쪽 높은 곳에서 볼 때 반시계 방향으로 향하고 있다.

$\mathbf{F}=\big(e^{x^2}+yz\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big(\cos(y^2)-x^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\big(\sin(z^2)+xy\big)\,\hat{\mathbf{k}}$

일 때, $\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $C$ be the intersection of $x+2y-z=7$ and $x^2-2x+4y^2=15$ . The curve $C$ is oriented counterclockwise when viewed from high on the $z$ -axis. Let

$\mathbf{F}=\big(e^{x^2}+yz\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big(\cos(y^2)-x^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\big(\sin(z^2)+xy\big)\,\hat{\mathbf{k}}$

Evaluate $\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\mathbf{F}$ 의 꼴을 보면 직접 계산하기는 어려워 보인다. 그래서 스토크스 정리를 이용하되, $S$ 를 평면 $G(x,y,z)=x+2y-z=7$ 중에서 $x^2-2x+4y^2=15$ 의 안쪽에 있는 부분으로 잡는다. 그러면

$\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = \pm \frac{{ \boldsymbol{\nabla} } G}{{ \boldsymbol{\nabla} } G\cdot\hat{\mathbf{k}}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \pm\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

이다. $C$ 가 위에서 볼 때 반시계 방향이므로, 스토크스 정리에 따라 위쪽을 향하는 법선벡터를 택해야 하고, 따라서 $\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 이다.

다음을 관찰하면

${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\[0.05in] \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\[0.05in] e^{x^2}+yz & \cos(y^2)-x^2 & \sin(z^2)+xy \end{matrix} \right] =x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-(z+2x)\,\hat{\mathbf{k}}$

이고 $x^2-2x+4y^2=15$ 를 $(x-1)^2+4y^2=16$ 으로 다시 쓸 수 있으므로,

$\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S\\ &=\iint _{(x-1)^2+4y^2\le 16}\, [x\hat{\boldsymbol{\imath}}-(z+2x)\hat{\mathbf{k}}]\Big|_{z=-7+x+2y}\cdot(-1,-2,1)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint _{(x-1)^2+4y^2\le 16} [-x-(-7+x+2y+2x)]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint _{(x-1)^2+4y^2\le 16} [7-4x-2y]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

이다.

$x$ 와 $y$ 의 적분을 계산하기 위해, $xy$ 평면 위의 임의의 영역 $R$ 에 대하여 다음이 성립함을 이용한다.

$\bar x =\frac{\iint _R x\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{\text{넓이}(R)}\qquad \bar y =\frac{\iint _R y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{\text{넓이}(R)}$

이 타원은 $\frac{(x-1)^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ 이므로 넓이가 $\pi ab = \pi\times4\times 2=8\pi$ 이고 무게중심은 $(\bar x,\bar y) = (1,0)$ 이다. 따라서 $R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ \frac{(x-1)^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}\le 1\ \big\}$ 로 놓으면

$\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _R [7-4x-2y]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\text{넓이}(R) \big\{7-4\bar x-2\bar y\}\\ &=8\pi[7-4\times 1-2\times 0]=24\pi \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Given the form of $\mathbf{F}$ , direct evaluation looks hard. So let's try Stokes' theorem, using as $S$ the part of the plane $G(x,y,z)=x+2y-z=7$ that is inside $x^2-2x+4y^2=15$ . Then

As $C$ is oriented counterclockwise when viewed from high, Stokes' theorem specifies the upward pointing normal so that $\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\big)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ .

From the observations that

and that we can rewrite $x^2-2x+4y^2=15$ as $(x-1)^2+4y^2=16$ , we have

To evaluate the integrals of $x$ and $y$ we use that, for any region $R$ in the $xy$ –plane,

$\bar x =\frac{\iint _R x\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{\text{Area}(R)}\qquad \bar y =\frac{\iint _R y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{\text{Area}(R)}$

Our ellipse is $\frac{(x-1)^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ and so has area $\pi ab = \pi\times4\times 2=8\pi$ and centroid $(\bar x,\bar y) = (1,0)$ . So, using $R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ \frac{(x-1)^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}\le 1\ \big\}$ ,

$\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _R [7-4x-2y]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\text{Area}(R) \big\{7-4\bar x-2\bar y\}\\ &=8\pi[7-4\times 1-2\times 0]=24\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 28번우리말 번역

$S$ 를 다음과 같이 매개변수로 나타낸 나선형 경사로(즉, 나선면)의 일부라고 하자.

$x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=v\qquad 0\le u\le 1,\ 0\le v\le 2\pi$

$C$ 를 $S$ 의 경계라고 하고, 방향은 $S$ 위의 위쪽을 향하는 법선으로 정해진다고 하자. 다음 값을 구하세요.

$\int_C y\,\mathrm{d}x-x\,\mathrm{d}y+ xy\,\mathrm{d}z$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

스토크스 정리를 이용해 보자. $\mathbf{F}=y\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+xy\,\hat{\mathbf{k}}$ 라 하면

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\[0.05in] \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\[0.05in] y & -x & xy \end{matrix}\right] =x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이제 $(u,v)$ 매개변수로 $\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 를 계산한다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}(u,v)&=\big(u\cos v, u\sin v, v\big)\\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u,v)&=\big(\cos v, \sin v, 0\big)\\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u,v)&=\big(-u\sin v, u\cos v, 1\big)\\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\[0.05in] \cos v & \sin v & 0 \\ -u\sin v& u\cos v& 1 \end{matrix}\right] =\big(\sin v, -\cos v, u\big)\\ \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S&=\big(\sin v, -\cos v, u\big)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \end{aligned}$

$u\ge 0$ 이므로 실제로 위쪽을 향하는 법선이다. 따라서 스토크스 정리에 의해

$\begin{aligned} \int_C y\,\mathrm{d}x-x\,\mathrm{d}y+ xy\,\mathrm{d}z &=\int_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}u \int_0^{2\pi} \mathrm{d}v\ \big(u\cos v, -u\sin v, -2\big) \cdot\big(\sin v, -\cos v, u\big)\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}u \int_0^{2\pi} \mathrm{d}v\ \big(2u\sin v\cos v-2u\big) =\left[\int_0^1 \mathrm{d}u \ u\right] \left[\int_0^{2\pi} \mathrm{d}v\ \big(\sin 2v-2\big)\right]\\ &=\tfrac{1}{2}(-4\pi)=-2\pi \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 스토크스 정리계산도전자동 분류