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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

스토크스 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.4절 · 30번대학 수준우리말 번역

(a) 벡터장 F=(2+x2+z , 0 , 3+x2z)\mathbf{F} = \big(2 + x^2 + z\,,\, 0\,,\, 3 + x^2 z\big) 의 회전(curl)을 구하세요. (b) CC 를 R3\mathbb{R}^3 에서 점 (0,0,0)(0, 0, 0) 에서 점 (2,0,0)(2, 0, 0) 까지 가는 곡선이라 하자. 이 곡선은 점 (0,0,0)(0, 0, 0) 에서 (0,0,3)(0, 0, 3) 까지, (0,0,3)(0, 0, 3) 에서 (0,1,0)(0, 1, 0) 까지, 그리고 (0,1,0)(0, 1, 0) 에서 (2,0,0)(2, 0, 0) 까지 잇는 세 개의 선분이 차례로 이어진 것이다. 선적분

∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

의 값을 구하세요. 여기서 F\mathbf{F} 는 (a)의 벡터장이다.

영어 원문 보기

(a) Find the curl of the vector field F=(2+x2+z , 0 , 3+x2z)\mathbf{F} = \big(2 + x^2 + z\,,\, 0\,,\, 3 + x^2 z\big). (b) Let CC be the curve in R3\mathbb{R}^3 from the point (0,0,0)(0, 0, 0) to the point (2,0,0)(2, 0, 0), consisting of three consecutive line segments connecting the points (0,0,0)(0, 0, 0) to (0,0,3)(0, 0, 3), (0,0,3)(0, 0, 3) to (0,1,0)(0, 1, 0), and (0,1,0)(0, 1, 0) to (2,0,0)(2, 0, 0). Evaluate the line integral

∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

where F\mathbf{F} is the vector field from (a).

정답·풀이 보기

(a) 회전은 다음과 같다.

∇×F=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂z2+x2+z03+x2z]=(1−2xz) ȷ^\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ 2+x^2+z & 0 & 3+x^2z \end{matrix} \right] =(1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(b) 스토크스 정리를 이용한다. 주어진 곡선 CC 는 닫혀 있지 않으므로 어떤 곡면의 경계가 아니다. 그래서 CC 에 (2,0,0)(2,0,0) 에서 (0,0,0)(0,0,0) 까지의 선분 LL 을 이어 붙여 CC 를 닫힌 곡선 C~\tilde C 로 확장한다. 아래 그림에서 CC 는 빨간 곡선이고 C~\tilde C 는 CC 와 파란 선분을 합한 것이다.

그림

닫힌 곡선 C~\tilde C 는 다음 두 삼각형의 합집합인 곡면 SS 의 경계이다.

  • yzyz평면 위에 있고 꼭짓점이 (0,0,0)(0,0,0), (0,0,3)(0,0,3), (0,1,0)(0,1,0) 이며 법선 벡터가 −ı^-\hat{\boldsymbol{\imath}} 인 삼각형 T1T_1
  • xyxy평면 위에 있고 꼭짓점이 (0,0,0)(0,0,0), (0,1,0)(0,1,0), (2,0,0)(2,0,0) 이며 법선 벡터가 −k^-\hat{\mathbf{k}} 인 삼각형 T2T_2

따라서 스토크스 정리에 의해

∫CF⋅dr+∫LF⋅dr=∫∂SF⋅dr=∬S∇×F⋅n^ dS=∬T1∇×F⋅(−ı^) dS+∬T2∇×F⋅(−k^) dS=∬T1(1−2xz) ȷ^⋅(−ı^) dS+∬T2(1−2xz) ȷ^⋅(−k^) dS=0\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_L \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &= \int_{\partial S} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &= \iint _{T_1} { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S + \iint _{T_2} { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= \iint _{T_1} (1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S + \iint _{T_2} (1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &=0 \end{aligned}

그러므로 구하려는 적분은

∫CF⋅dr=−∫LF⋅dr=−∫20(2+x2) dxL 위에서 dy=dz=z=0 이므로=∫02(2+x2) dx=[2x+x33]02=203\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=- \int_L \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =- \int_2^0 (2+x^2)\,\mathrm{d}x \qquad\text{$L$ 위에서 $\mathrm{d}y=\mathrm{d}z=z=0$ 이므로} \\ &=\int_0^2 (2+x^2)\,\mathrm{d}x ={\left[2x+\frac{x^3}{3}\right]}_0^2 =\frac{20}{3} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The curl is

∇×F=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂z2+x2+z03+x2z]=(1−2xz) ȷ^\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ 2+x^2+z & 0 & 3+x^2z \end{matrix} \right] =(1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(b) We are going to use Stokes' theorem. The specified curve CC is not closed and so is not the boundary of a surface. So we extend CC to a closed curve C~\tilde C by appending to CC the line segment LL from (2,0,0)(2,0,0) to (0,0,0)(0,0,0). In the figure below, CC is the red curve and C~\tilde C is CC plus the blue line segment.

figure

The closed curve C~\tilde C is boundary of the surface SS that is the union of

  • the triangle T1T_1 in the yzyz-plane with vertices (0,0,0)(0,0,0), (0,0,3)(0,0,3) and (0,1,0)(0,1,0) and with normal vector −ı^-\hat{\boldsymbol{\imath}} and
  • the triangle T2T_2 in the xyxy-plane with vertices (0,0,0)(0,0,0), (0,1,0)(0,1,0) and (2,0,0)(2,0,0) and with normal vector −k^-\hat{\mathbf{k}}.

So, by Stokes' theorem

∫CF⋅dr+∫LF⋅dr=∫∂SF⋅dr=∬S∇×F⋅n^ dS=∬T1∇×F⋅(−ı^) dS+∬T2∇×F⋅(−k^) dS=∬T1(1−2xz) ȷ^⋅(−ı^) dS+∬T2(1−2xz) ȷ^⋅(−k^) dS=0\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_L \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &= \int_{\partial S} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &= \iint _{T_1} { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S + \iint _{T_2} { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= \iint _{T_1} (1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S + \iint _{T_2} (1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &=0 \end{aligned}

Consequently the integral of interest

∫CF⋅dr=−∫LF⋅dr=−∫20(2+x2) dxsince dy=dz=z=0 on L=∫02(2+x2) dx=[2x+x33]02=203\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=- \int_L \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =- \int_2^0 (2+x^2)\,\mathrm{d}x \qquad\text{since $\mathrm{d}y=\mathrm{d}z=z=0$ on $L$} \\ &=\int_0^2 (2+x^2)\,\mathrm{d}x ={\left[2x+\frac{x^3}{3}\right]}_0^2 =\frac{20}{3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 31번우리말 번역

(a) SS 를 원기둥면 y2+z2=9y^2 + z^2 = 9 (x=0x = 0 과 x=5x = 5 사이)와, yzyz평면 위에서 원점을 중심으로 하는 반지름 33 인 원판으로 이루어진 양동이 모양의 곡면이라 하자. (양동이 SS 는 바닥은 있지만 뚜껑은 없다.) SS 의 단위법선벡터가 바깥쪽을 향하도록 방향을 정한다. G=(x,−z,y)\mathbf{G} = (x, -z, y) 일 때, SS 를 지나는 벡터장 ∇×G{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{G} 의 플럭스를 구하세요. (b) SS 가 (a)와 같을 때, SS 를 지나는 벡터장 F=(2+z,xz2,xcos⁡y)\mathbf{F} = (2 + z, xz^2 , x \cos y) 의 플럭스를 구하세요.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
다 풀었으면 정답 확인

(a) 직접 계산: G\mathbf{G} 의 회전(curl)은 다음과 같다.

∇×G=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂zx−zy]=2ı^\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{G} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ x & -z & y \end{matrix} \right] =2\hat{\boldsymbol{\imath}} \end{aligned}

SS 중 제1팔분공간에 있는 부분은 아래 왼쪽 그림과 같다. SS 는 두 부분, 즉 원기둥면

S1={ (x,y,z) ∣ y2+z2=9, 0≤x≤5 }S_1 = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2=9,\ 0\le x\le 5\ \big\}

과 원판

S2={ (x,y,z) ∣ x=0, y2+z2≤9 }S_2 = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=0,\ y^2+z^2\le 9\ \big\}

으로 이루어진다.

S1S_1 의 법선벡터 n^\hat{\mathbf{n}} 은 항상 원기둥에서 반지름 방향 바깥쪽을 향하므로 ı^\hat{\boldsymbol{\imath}} 성분이 항상 00 이다. S2S_2 의 법선벡터는 −ı^-\hat{\boldsymbol{\imath}} 이다. 따라서 플럭스는 다음과 같다.

∬S∇×G⋅n^ dS=∬S12ı^⋅n^ dS+∬S22ı^⋅(−ı^) dS=−2∬S2dS=−2(π32)=−18π\begin{aligned} \iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{G} \cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \iint _{S_1} 2\hat{\boldsymbol{\imath}} \cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S + \iint _{S_2} 2\hat{\boldsymbol{\imath}} \cdot (-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S \\ &= -2 \iint _{S_2} \mathrm{d}S \\ &= -2 \big(\pi 3^2\big) = -18\pi \end{aligned}

(a) 스토크스 정리 이용: 스토크스 정리를 이용하자. SS 의 경계 ∂S\partial S 는 원 y2+z2=9y^2+z^2=9, x=5x=5 이고, xx축의 먼 쪽에서 볼 때 시계 방향으로 방향이 주어진다. 이를 r(θ)=(5,3cos⁡θ,−3sin⁡θ)\mathbf{r}(\theta)=\big(5, 3\cos\theta, -3\sin\theta\big) 로 매개화한다. 그러면 스토크스 정리에 의해 다음을 얻는다.

∬S∇×G⋅n^ dS=∮∂SG⋅dr=∫02π(5 , 3sin⁡θ,3cos⁡θ)⋅(0 , −3sin⁡θ , −3cos⁡θ) dθ=∫02π(−9sin⁡2θ−9cos⁡2θ) dθ=−18π\begin{aligned} \iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\oint_{\partial S}\mathbf{G}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} \\ &=\int_0^{2\pi} \big(5\,,\,3\sin\theta,3\cos\theta\big)\cdot \big(0\,,\,-3\sin\theta\,,\,-3\cos\theta\big)\,\mathrm{d}\theta \\ &=\int_0^{2\pi} \big(-9\sin^2\theta-9\cos^2\theta\big)\,\mathrm{d}\theta \\ &=-18\pi \end{aligned}

그림

그림

(b) 이번에는 발산 정리를 이용하자. 곡면 SS 는 닫혀 있지 않다. 그래서 SS 위에 뚜껑 T={ (5,y,z) ∣ y2+z2≤9 }T=\big\{ \ (5,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le 9\ \big\} 를 “덮어서” 만든 보조 곡면을 이용한다. TT 의 법선벡터를 ı^\hat{\boldsymbol{\imath}} 로 정하면, SS 와 TT 의 합집합인 이 보조 곡면은 V={ (x,y,z) ∣ y2+z2≤9, 0≤x≤5 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le 9,\ 0\le x\le 5\ \big\} 의 경계이다. 따라서 발산 정리에 의해 다음을 얻는다.

∬SF⋅n^ dS+∬TF⋅n^ dS=∬∂VF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV=0\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S +\iint _T \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot \mathbf{F}\ \mathrm{d}V \\ &=0 \end{aligned}

∇⋅F=0{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot \mathbf{F} = 0 이기 때문이다. 그러므로 구하는 플럭스는 다음과 같다.

∬SF⋅n^ dS=−∬TF⋅n^ dS=−∬TF⋅ı^ dS=−∬T(2+z) dS=−2∬T dSz 가 홀함수이므로 ∬Tz dS=0 이다=−18πT 의 넓이가 9π 이므로\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=-\iint _T \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-\iint _T \mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\mathrm{d}S =-\iint _T (2+z)\,\mathrm{d}S \\ &=-2\iint _T \,\mathrm{d}S \qquad\text{$z$ 가 홀함수이므로 $\iint _T z\,\mathrm{d}S=0$ 이다}\\ &= -18\pi \qquad\text{$T$ 의 넓이가 $9\pi$ 이므로} \end{aligned}

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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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