스토크스 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.4절 · 32번

CLP-4 · 4.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 두자.

$\mathbf{F}(x, y, z) = \Big(\frac{y}{x} +x^{1+x^2}\,,\, x^2-y^{1+y^2}\,,\, \cos^5(\ln z)\Big)$

(a) $\mathbf{F}$ 의 정의역 $D$ 를 쓰세요. (b) 옳은 설명을 모두 고르세요.

(a) D는 연결되어 있다. (b) D는 단순연결이다. (c) D는 연결되어 있지 않다. (c) ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}$ 를 구하세요. (d) $C$ 를 평면 $z = 2$ 위에서 꼭짓점이 $(3 \pm 1, 3 \pm 1)$ 인 정사각형이라 하고, 시계 방향(위에서 내려다본 방향, 즉 $z$ 축 아래 방향으로 본 방향)으로 향을 주자. 다음을 구하세요.

$\int_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ (e) $\mathbf{F}$ 는 보존적인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Let

$\mathbf{F}(x, y, z) = \Big(\frac{y}{x} +x^{1+x^2}\,,\, x^2-y^{1+y^2}\,,\, \cos^5(\ln z)\Big)$

(a) Write down the domain $D$ of $\mathbf{F}$ . (b) Circle the correct statement(s):

(a) D is connected. (b) D is simply connected. (c) D is disconnected. (c) Compute ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}$ . (d) Let $C$ be the square with corners $(3 \pm 1, 3 \pm 1)$ in the plane $z = 2$ , oriented clockwise (viewed from above, i.e. down $z$ -axis). Compute

$\int_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ (e) Is $\mathbf{F}$ conservative?

정답·풀이 보기

(a)

$\frac{y}{x}$ 는 $x\ne 0$ 일 때 정의되고,
$x^{1+x^2}=e^{(1+x^2)\ln x}$ 는 $\ln x$ 가 정의될 때 정의되는데, 이는 $x>0$ 일 때이다(복소수를 사용할 수 없다고 가정한다). 그리고
$y^{1+y^2}=e^{(1+y^2)\ln y}$ 는 $\ln y$ 가 정의될 때 정의되는데, 이는 $y>0$ 일 때이다. 그리고
$\cos^5(\ln z)$ 는 $\ln z$ 가 정의될 때 정의되는데, 이는 $z>0$ 일 때이다.

따라서 $\mathbf{F}$ 의 정의역은 다음과 같다.

$D=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x>0,\ y>0,\ z>0\ \big\}$

(b) 정의역 $D$ 는 연결되어 있고(D 안의 임의의 두 점을 D 안에 완전히 놓이는 곡선으로 이을 수 있다) 단순연결이다(D 안의 임의의 단순닫힌곡선을 D 안에서 연속적으로 한 점까지 줄일 수 있다).

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ \frac{y}{x} +x^{1+x^2} & x^2-y^{1+y^2} & \cos^5(\ln z) \end{matrix} \right] =\big(2x-{1}/{x}\big)\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(d) 직접 계산하려면 피적분함수가 매우 복잡해 보인다. 반면 ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}$ 는 상당히 간단하다. 그러므로 스토크스 정리를 써 보자. 다음과 같이 놓는다.

$S=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 2\le x\le 4,\ 2\le y\le 4,\ z=2\ \big\}$

$S$ 의 경계는 $C$ 이다. $C$ 가 시계 방향이므로 $S$ 의 법선벡터를 $-\hat{\mathbf{k}}$ 로 정한다. 아래 그림을 보라.

그러면 스토크스 정리에 의해

$\begin{aligned} \oint_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = \iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S = -\iint _S \big(2x-\tfrac{1}{x}\big)\,\mathrm{d}S \\ &= -\int_2^4\mathrm{d}x\int_2^4\mathrm{d}y\ \big(2x-\tfrac{1}{x}\big) =-\int_2^4\mathrm{d}x\ 2\big(2x-\tfrac{1}{x}\big) = - 2\Big[x^2-\ln x\Big]_2^4 \\ &=-2\big[12-\ln 2\big] =2\ln 2-24 \end{aligned}$

(e) ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}$ 가 $\mathbf{0}$ 이 아니므로 $\mathbf{F}$ 는 보존적일 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

$\frac{y}{x}$ is defined when $x\ne 0$ and
$x^{1+x^2}=e^{(1+x^2)\ln x}$ is defined when $\ln x$ is defined, which is when $x>0$ (assuming that we are not allowed to use complex numbers) and
$y^{1+y^2}=e^{(1+y^2)\ln y}$ is defined when $\ln y$ is defined, which is when $y>0$ and
$\cos^5(\ln z)$ is defined when $\ln z$ is defined, which when $z>0$

the domain of $\mathbf{F}$ is

$D=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x>0,\ y>0,\ z>0\ \big\}$

(b) The domain $D$ is both connected (any two points in $D$ can be joined by a curve that lies completely in $D$ ) and simply connected (any simple closed curve in $D$ can be shrunk to a point continuously in $D$ ).

(d) The integrand for direct evaluation looks very complicated. On the other hand ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}$ is quite simple. So let's try Stokes' thoerem. Denote

$S=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 2\le x\le 4,\ 2\le y\le 4,\ z=2\ \big\}$

The boundary of $S$ is $C$ . Because of the clockwise orientation of $C$ , we assign the normal vector $-\hat{\mathbf{k}}$ to $S$ . See the sketch below

Then, by Stokes' theorem,

(e) Since ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}$ is not $\mathbf{0}$ , $\mathbf{F}$ cannot be conservative.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 34번우리말 번역

$C$ 를 $xy$ 평면에서 점 $(0, 0)$ 에서 점 $(5, 5)$ 까지 가는 곡선이라 하자. 이 곡선은 점 $(0,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ , $(1,2)$ , $(2,2)$ , $(2,3)$ , $(3,3)$ , $(3,4)$ , $(4,4)$ , $(4,5)$ , $(5,5)$ 를 차례로 이은 열 개의 선분으로 이루어져 있다. 선적분

$\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{r} \end{aligned}$

의 값을 구하세요. 단,

$\begin{aligned} \mathbf{F} = y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (2x - 10)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

이다.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$C$ 가 열 개의 선분으로 이루어져 있으므로 직접 계산하는 것은 아마도 그리 효율적이지 않을 것이다. 다른 방법으로 두 가지를 생각할 수 있다. $\mathbf{F}$ 가 보존적이면 $\mathbf{F}$ 의 퍼텐셜을 이용할 수 있다. $\mathbf{F}$ 가 보존적이지 않더라도 스토크스 정리(또는 그린 정리)를 효율적으로 이용할 수 있을지 모른다. 그래서 다음을 계산하자.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ y & 2x-10 & 0 \end{matrix} \right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\ne\mathbf{0}$ 이므로 벡터장 $\mathbf{F}$ 는 보존적이 아니다. 또 ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\ne\mathbf{0}$ 이 매우 간단하므로, 스토크스 정리를 이용하면 적분을 효율적으로 계산할 수 있을 것 같다. 아래 왼쪽 그림에 $C$ 의 개형이 있다.

곡선 $C$ 는 닫혀 있지 않으므로 어떤 곡면의 경계가 아니며, 따라서 스토크스 정리를 바로 적용할 수 없다. 그러나 경계가 $C$ 를 포함하는 곡면은 쉽게 떠올릴 수 있다. 위 오른쪽 그림에서 색칠한 영역을 $R$ 이라 하자. $R$ 의 경계 $\partial R$ 은 $C$ 와 선분 $L$ 의 두 부분으로 이루어져 있다. $R$ 의 법선은 $-\hat{\mathbf{k}}$ 방향이다( $\partial R$ 가 시계 방향으로 향하므로). 따라서 스토크스 정리에 의해

$\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_L \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint _R { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} \cdot(-\hat{\mathbf{k}})\ \mathrm{d}S = \iint _R (\hat{\mathbf{k}}) \cdot(-\hat{\mathbf{k}})\ \mathrm{d}S = -\text{Area}(R) \end{aligned}$

이다.

$R$ 은 높이가 $1$ 이고 밑변이 $1$ 인 삼각형 $5$ 개의 합집합이다. 따라서

$\text{Area}(R) = 5\times \frac{1}{2}\times 1\times 1 =\frac{5}{2}$

이다.

$(0,0)$ 에서 $(5,5)$ 까지의 선분을 $-L$ 이라 하면, $-L$ 은 $\mathbf{r}(t) = t(5,5)$ , $0\le t\le 1$ 로 매개화할 수 있고

$\begin{aligned} \int_{-L} \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^1 \overbrace{\big(5t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (10t-10)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)}^{\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))} \cdot\overbrace{(5\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\,\hat{\boldsymbol{\jmath}})}^{\mathbf{r}'(t)}\ \mathrm{d}t =\int_0^1 5\big(15t-10\big) \mathrm{d}t =25\left(\frac{3}{2}-2\right) \\ &=-\frac{25}{2} \end{aligned}$

이다.

종합하면

$\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = -\text{Area}(R) - \int_L \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = -\text{Area}(R) + \int_{-L} \mathbf{F} \cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =-\frac{5}{2}-\frac{25}{2} =-15 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 스토크스 정리계산도전자동 분류