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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

스토크스 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.4절 · 37번대학 수준우리말 번역

CC 를 다음 매개변수 방정식으로 주어진 곡선이라 하자.

x=cos⁡t, y=2sin⁡t, z=cos⁡t, 0≤t≤2πx=\cos t,\ y=\sqrt{2}\sin t,\ z=\cos t,\ 0\le t\le 2\pi

그리고

F=z ı^+x ȷ^+y3z3 k^\mathbf{F}=z\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+y^3z^3\,\hat{\mathbf{k}}

라 하자. 스토크스 정리를 이용하여 다음 값을 구하세요.

∮CF⋅dr\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}

영어 원문 보기

Let CC be the curve given by the parametric equations:

x=cos⁡t, y=2sin⁡t, z=cos⁡t, 0≤t≤2πx=\cos t,\ y=\sqrt{2}\sin t,\ z=\cos t,\ 0\le t\le 2\pi

and let

F=z ı^+x ȷ^+y3z3 k^\mathbf{F}=z\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+y^3z^3\,\hat{\mathbf{k}}

Use Stokes' theorem to evaluate

∮CF⋅dr\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

주어진 벡터장의 회전(curl)은

∇×F=∇×(z ı^+x ȷ^+y3z3 k^)=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂zzxy3z3]=3y2z3 ı^+ȷ^+k^\begin{aligned} \nabla\times\mathbf{F} &=\nabla\times\big(z\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+y^3z^3\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ &= \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ z & x & y^3z^3 \end{matrix}\right] \\ &=3y^2z^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다. 모든 tt 에 대해 x(t)=z(t)x(t)=z(t) 이고 x(t)2+y(t)2+z(t)2=2x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=2 이다. 따라서 주어진 곡선은 평면 x=zx=z 와 구 x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 의 교선이다. 이 곡선은 다음 원판의 경계이다.

D={ (x,y,z) ∣ x=z, x2+y2+z2≤2 }D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=z,\ x^2+y^2+z^2\le 2\ \big\}

곡선의 방향은 (x(t),y(t))=(cos⁡t,2sin⁡t)\big(x(t),y(t)\big)=\big(\cos t,\sqrt{2}\sin t\big) 가 표준 방향(반시계 방향)으로 움직이도록 정해져 있다. 그러므로 스토크스 정리에서 쓰는 DD 의 단위법선벡터는 k^\hat{\mathbf{k}} 성분이 양수이다. 평면 x−z=0x-z=0 의 단위법선벡터는 ±12(1,0,−1)\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1) 이므로, 스토크스 정리에서 쓰는 단위법선벡터는 n^=12(−1,0,1)\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1) 이다. 스토크스 정리에 의해

∮CF⋅dr=∬D∇×F⋅n^ dS=12∬D(3y2z3,1,1)⋅(−1,0,1) dS=12∬D(1−3y2z3) dS\begin{aligned} \oint_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _D\nabla\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D(3y^2z^3,1,1)\cdot(-1,0,1)\ \mathrm{d}S \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D(1-3y^2z^3)\ \mathrm{d}S \end{aligned}

이다.

원판 DD 는 반사 (x,y,z)→(−x,y,−z)(x,y,z)\rightarrow(-x,y,-z) 에 대해 불변이다. y2z3y^2z^3 은 이 반사에 대해 홀함수이므로 ∬Dy2z3 ds=0\iint _D y^2z^3\ \mathrm{d}s=0 이고,

∮F⋅dr=12∬D dS=12Area(D)\oint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D \ \mathrm{d}S =\frac{1}{\sqrt{2}}{\rm Area}(D)

이다.

공 x2+y2+z2≤2x^2+y^2+z^2\le 2 의 중심 (0,0,0)(0,0,0) 이 평면 x=zx=z 위에 있으므로, 원판 DD 의 반지름은 구 x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 의 반지름과 같다. 따라서 DD 의 반지름은 2\sqrt{2} 이고

∮F⋅dr=12Area(D)=12π( 2 )2=2π\oint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\frac{1}{\sqrt{2}}{\rm Area}(D) =\frac{1}{\sqrt{2}}\pi{\big(\,\sqrt{2}\,\big)}^2 =\sqrt{2}\pi

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The curl of the specified vector field is

∇×F=∇×(z ı^+x ȷ^+y3z3 k^)=det⁡[ı^ȷ^k^∂∂x∂∂y∂∂zzxy3z3]=3y2z3 ı^+ȷ^+k^\begin{aligned} \nabla\times\mathbf{F} &=\nabla\times\big(z\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+y^3z^3\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ &= \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ z & x & y^3z^3 \end{matrix}\right] \\ &=3y^2z^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

For every tt, we have x(t)=z(t)x(t)=z(t) and x(t)2+y(t)2+z(t)2=2x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=2. So the specified curve is the intersection of the plane x=zx=z and the sphere x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2. This curve is the boundary of the circular disk

D={ (x,y,z) ∣ x=z, x2+y2+z2≤2 }D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=z,\ x^2+y^2+z^2\le 2\ \big\}

The curve is oriented so that (x(t),y(t))=(cos⁡t,2sin⁡t)\big(x(t),y(t)\big)=\big(\cos t,\sqrt{2}\sin t\big) runs in the standard (counterclockwise) direction. So the unit normal to DD used in Stokes' theorem has positive k^\hat{\mathbf{k}} component. Since the plane x−z=0x-z=0 has unit normal ±12(1,0,−1)\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), the unit normal used in Stokes' theorem is n^=12(−1,0,1)\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1). By Stokes' theorem

∮CF⋅dr=∬D∇×F⋅n^ dS=12∬D(3y2z3,1,1)⋅(−1,0,1) dS=12∬D(1−3y2z3) dS\begin{aligned} \oint_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _D\nabla\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D(3y^2z^3,1,1)\cdot(-1,0,1)\ \mathrm{d}S \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D(1-3y^2z^3)\ \mathrm{d}S \end{aligned}

The disk DD is invariant under the reflection (x,y,z)→(−x,y,−z)(x,y,z)\rightarrow(-x,y,-z). Since y2z3y^2z^3 is odd under this reflection, ∬Dy2z3 ds=0\iint _D y^2z^3\ \mathrm{d}s=0 and

∮F⋅dr=12∬D dS=12Area(D)\oint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\frac{1}{\sqrt{2}}\iint _D \ \mathrm{d}S =\frac{1}{\sqrt{2}}{\rm Area}(D)

Because the centre of the ball x2+y2+z2≤2x^2+y^2+z^2\le 2 (namely (0,0,0)(0,0,0)) is contained in the plane x=zx=z, the radius of the disk DD is the same as the radius of the sphere x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2. So DD has radius 2\sqrt{2} and

∮F⋅dr=12Area(D)=12π( 2 )2=2π\oint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\frac{1}{\sqrt{2}}{\rm Area}(D) =\frac{1}{\sqrt{2}}\pi{\big(\,\sqrt{2}\,\big)}^2 =\sqrt{2}\pi

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.4절 · 39번우리말 번역

SS 를 반원뿔

z=x2+y2,y≥0,z=\sqrt{x^2+y^2},\quad y\ge 0,

에서 평면 z=1z=1 아래에 있는 부분이라 하자.

(a) SS 의 매개화를 구하세요. (b) 속도장

v=x ı^+y ȷ^−2z k^\mathbf{v}=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y\, \hat{\boldsymbol{\jmath}} -2 z\,\hat{\mathbf{k}}

이 SS 를 아래쪽으로 통과하는 선속을 구하세요. (c) 벡터장 F\mathbf{F} 의 회전이 ∇×F=x ı^+y ȷ^−2z k^{ \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}= x\, \hat{\boldsymbol{\imath}} + y\, \hat{\boldsymbol{\jmath}} -2 z\,\hat{\mathbf{k}} 이다. xzxz평면 위에서 벡터장 F\mathbf{F} 는 상수이며 F(x,0,z)=ȷ^\mathbf{F}(x,0,z)=\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이다. 이 정보를 이용하여

∫CF⋅dr,\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r},

의 값을 구하세요. 여기서 C\mathcal{C} 는 반원

x2+y2=1, z=1, y≥0x^2+y^2=1,\ z=1,\ y\ge 0

이며 (−1,0,1)(-1,0,1) 에서 (1,0,1)(1,0,1) 로 향하는 방향이다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 원기둥좌표를 이용하여 SS 를 매개화한다:

r(r,θ)=rcos⁡θ ı^+rsin⁡θ ȷ^+r k^단, 0≤r≤1, 0≤θ≤π\mathbf{r}(r, \theta) = r\cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\imath}} +r\sin \theta\, \hat{\boldsymbol{\jmath}} + r\,\hat{\mathbf{k}} \qquad \text{단, $0\le r\le 1$, $0\le \theta \le \pi$}

(b) 다음을 계산한다.

∂r∂r=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^+ k^∂r∂θ=−rsin⁡θ ı^+rcos⁡θ ȷ^n^ dS=±∂r∂r×∂r∂θ drdθ=±(−rcos⁡θ ı^−rsin⁡θ ȷ^+r k^) drdθ\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} &= \cos \theta \,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin \theta \,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} &= -r \sin \theta \,\hat{\boldsymbol{\imath}} + r\cos \theta \,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &= \pm \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \ \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta = \pm \big(-r\cos \theta \,\hat{\boldsymbol{\imath}} - r \sin \theta \,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + r \,\hat{\mathbf{k}}\big)\, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \end{aligned}

아래쪽 선속을 구하려면 음의 부호를 택한다. 따라서

∬Sv⋅n^ dS=∫0πdθ∫01dr (rcos⁡θ,rsin⁡θ,−2r)⋅(rcos⁡θ,rsin⁡θ,−r)=∫0πdθ∫01dr 3r2=πr3∣r=01=π\begin{aligned} \iint _S \mathbf{v} \cdot \hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S & = \int_0^\pi \mathrm{d}\theta \int_0^1 \mathrm{d}r\ (r \cos \theta, r\sin \theta, -2r)\cdot (r\cos \theta, r\sin \theta, -r) \\ &= \int_0^\pi \mathrm{d}\theta \int_0^1 \mathrm{d}r\ 3 r^2 = \pi r^3\Big|_{r=0}^1 = \pi \end{aligned}

이다.

(c) 풀이 1: P\mathcal{P} 를 (1,0,1)(1,0,1) 에서 (0,0,0)(0,0,0) 까지, 그리고 (0,0,0)(0,0,0) 에서 (−1,0,1)(-1,0,1) 까지 선분을 따라가는 경로라 하자. 그림은 다음과 같다. P\mathcal{P} 는 파란색이다.

그림

그러면

∫CF⋅dr+∫PF⋅dr=∬S∇×F⋅n^ dS\int_\mathcal{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} + \int_\mathcal{P} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint _S { \boldsymbol{\nabla} } \times \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S

이다. 이는 스토크스 정리에 의한 것이다. P\mathcal{P} 를 따라 벡터장 F\mathbf{F} 는 곡선에 수직이므로 ∫PF⋅dr=0\int_\mathcal{P} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=0 이다. ∇×F\nabla\times \mathbf{F} 는 (b)의 벡터장 v\mathbf{v} 와 같다는 점에 주목한다. 따라서

∫CF⋅dr=∬Sv⋅n^ dS=π\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint _S \mathbf{v} \cdot \hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S = \pi

이다.

(c) 풀이 2: L\mathcal{L} 을 (1,0,1)(1,0,1) 에서 (−1,0,1)(-1,0,1) 까지의 선분이라 하고,

R={(x,y,z)}x2+y2≤1,y≥0,z=1\begin{aligned} \mathcal{R}=\left\{(x,y,z)\right\}{x^2+y^2\le1, y\ge 0, z=1} \end{aligned}

이라 하자. 그림은 다음과 같다. L\mathcal{L} 은 파란색이고 R\mathcal{R} 은 색칠한 부분이다.

그림

그러면

∫CF⋅dr+∫LF⋅dr=∬R∇×F⋅(−k^) dS\int_\mathcal{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} + \int_\mathcal{L} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint _{\mathcal{R}} { \boldsymbol{\nabla} } \times \mathbf{F} \cdot (-\hat{\mathbf{k}})\, \mathrm{d}S

이다. 이는 스토크스 정리에 의한 것이다. L\mathcal{L} 을 따라 벡터장 F=ȷ^\mathbf{F}=\hat{\boldsymbol{\jmath}} 는 곡선(방향이 −ı^-\hat{\boldsymbol{\imath}} 이므로)에 수직이어서 ∫LF⋅dr=0\int_\mathcal{L} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=0 이다. ∇×F\nabla\times \mathbf{F} 는 (b)의 벡터장 v\mathbf{v} 와 같다는 점에 주목한다. 따라서

∫CF⋅dr=−∬Rv⋅k^ dS=∬R2z dS=2∬R dS=2 넓이(R)=π\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = -\iint _\mathcal{R} \mathbf{v} \cdot \hat{\mathbf{k}}\, \mathrm{d}S = \iint _\mathcal{R} 2z \, \mathrm{d}S = 2\iint _\mathcal{R} \, \mathrm{d}S =2\,\text{넓이}(\mathcal{R}) = \pi

이다.

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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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