선적분 연습문제 — CLP-4 · 17번

CLP-4 · 17번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓을 판단하세요(이유를 반드시 쓰세요):

(a) $\mathbb{R}^3$ 위의 매끄러운 벡터장이 컬이 0이고 발산이 0이면, 그 퍼텐셜은 조화함수이다. 정의에 따라 $\phi(x,y,z)$ 가 조화함수라는 것은 $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big) \phi(x,y,z)=0$ 이라는 뜻이다. (b) $\mathbf{F}$ 가 $\mathbb{R}^3$ 위의 매끄러운 보존 벡터장이면, 매끄러운 임의의 닫힌 곡면을 지나는 플럭스는 0이다.

영어 원문 보기

True or false (reasons must be given):

(a) If a smooth vector field on $\mathbb{R}^3$ is curl free and divergence free, then its potential is harmonic. By definition, $\phi(x,y,z)$ is harmonic if $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big) \phi(x,y,z)=0$ . (b) If $\mathbf{F}$ is a smooth conservative vector field on $\mathbb{R}^3$ , then its flux through any smooth closed surface is zero.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 참이다. $\mathbf{F}$ 를 주어진 벡터장이라 하자. $\mathbb{R}^3$ 전체에서 $\nabla\times\mathbf{F}=0$ 이라고 가정하였다. 따라서 어떤 퍼텐셜 함수 $\phi$ 에 대해 $\mathbf{F}=\nabla\phi$ 이다. 또한 $0=\nabla\cdot\mathbf{F} =\nabla\cdot\nabla\phi =\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi$ 라고 가정하였다. 이것이 “ $\phi$ 는 조화함수이다”의 정의이다.

(b) 거짓이다. $\mathbf{F}$ 를 주어진 벡터장이라 하자. 어떤 퍼텐셜 함수 $\phi$ 에 대해 $\mathbf{F}=\nabla\phi$ 라고 가정하였다. $S$ 가 매끄러운 임의의 닫힌 곡면이고 $S$ 가 입체 $V$ 의 경계이면, 발산 정리에 의해 $S$ 를 지나는 $\mathbf{F}$ 의 바깥쪽 플럭스는 다음과 같다.

$\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\iiint _V \nabla\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V \nabla\cdot\nabla \phi\ \mathrm{d}V =\iiint _V \big(\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} +\tfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\tfrac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi\ \mathrm{d}V$

예를 들어 $\phi=x^2$ 이면 $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi=2$ 이고, $S$ 를 지나는 $\mathbf{F}$ 의 플럭스는 $V$ 의 부피의 2배이므로 0이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) True. Let $\mathbf{F}$ be the vector field. We are assuming that $\nabla\times\mathbf{F}=0$ on all of $\mathbb{R}^3$ . As a result, $\mathbf{F}=\nabla\phi$ for some potential function $\phi$ . We are also assuming that $0=\nabla\cdot\mathbf{F} =\nabla\cdot\nabla\phi =\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi$ . This is the definition of “ $\phi$ is harmonic”.

(b) False. Let $\mathbf{F}$ be the vector field. We are assuming that $\mathbf{F}=\nabla\phi$ for some potential function $\phi$ . If $S$ is any smooth closed surface, with $S$ being the boundary of the solid $V$ , then, by the divergence theorem, the outward flux of $\mathbf{F}$ through $S$ is

If, for example, $\phi=x^2$ , then $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi=2$ and the flux of $\mathbf{F}$ through $S$ is twice the volume of $V$ , which is not zero.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 7번우리말 번역

벡터장 $\mathbf{F} = P (x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + Q(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 를 아래에 그렸습니다.

다음 물음에서 그래프로 가장 잘 뒷받침되는 답을 고르세요.

(a) 점 $A$ 에서의 미분계수 $P_y$ 는 (a) 양수이다, (b) 음수이다, (c) 0이다, (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (b) 점 $A$ 에서의 미분계수 $Q_x$ 는 (a) 양수이다, (b) 음수이다, (c) 0이다, (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (c) 점 $A$ 에서 $\mathbf{F}$ 의 회전(curl)은 (a) $+\hat{\mathbf{k}}$ 방향이다 (b) $-\hat{\mathbf{k}}$ 방향이다 (c) 0이다 (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (d) 입자가 곡선 $\mathcal{C}_1$ 을 따라 점 $B$ 에서 점 $C$ 까지 움직일 때 벡터장이 한 일은 (a) 양수이다 (b) 음수이다 (c) 0이다 (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (e) 입자가 곡선 $\mathcal{C}_2$ 를 따라 점 $B$ 에서 점 $C$ 까지 움직일 때 벡터장이 한 일은 (a) 양수이다 (b) 음수이다 (c) 0이다 (d) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. (f) 벡터장 $\mathbf{F}$ 는 (a) 어떤 함수 $f$ 의 그래디언트이다 (b) 어떤 벡터장 $\mathbf{G}$ 의 회전이다 (c) 보존적이지 않다 (d) 발산이 0이다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $P$ 는 $\mathbf{F}$ 의 $x$ 성분이다. $A$ 를 지나 수직 위쪽으로 움직이면 그 $x$ 성분은 감소한다. 따라서 $A$ 에서 $P_y<0$ 이다.

(b) $Q$ 는 $\mathbf{F}$ 의 $y$ 성분이다. $A$ 를 지나 수평 오른쪽으로 움직이면 그 $y$ 성분은 증가한다. 따라서 $A$ 에서 $Q_x>0$ 이다.

(c) ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} = (Q_x-P_y)\hat{\mathbf{k}}$ 이고 $A$ 에서 $Q_x-P_y>0$ 이므로, $A$ 에서 $\mathbf{F}$ 의 회전은 $+\hat{\mathbf{k}}$ 방향이다.

(d) 곡선 $\mathcal{C}_1$ 을 따라 $\mathbf{F}$ 와 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 가 이루는 각의 크기가 $90^\circ$ 보다 작으므로 $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}>0$ 이고 $\int_{\mathcal{C}_1}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}>0$ 이다.

(e) 곡선 $\mathcal{C}_2$ 를 따라 $\mathbf{F}$ 와 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 가 이루는 각의 크기가 $90^\circ$ 보다 크므로 $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}<0$ 이고 $\int_{\mathcal{C}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}<0$ 이다.

(f) $\mathbf{F}$ 가 보존적이라면 $\int_{\mathcal{C}_1}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_{\mathcal{C}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 이어야 한다. 그런데 이 두 적분은 부호가 반대이므로 $\mathbf{F}$ 는 보존적이지 않다. ( $\mathbf{F}$ 가 보존적이지 않으므로 어떤 함수의 그래디언트가 아니다. $A$ 에서 $P_x>0$ 이고 $Q_y>0$ 이다. 따라서 $\mathbf{F}$ 는 발산이 0이 아니며 벡터 퍼텐셜의 회전도 아니다.)

이 문제로 이어서 풀기

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