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문제 은행 · 기초 수학 · 대수 · 삼각함수

삼각함수의 그래프

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.2절 · 55번우리말 번역

호숫가에 서 있는 한 어부가 왼쪽 멀리 있는 배를 발견한다. 라디안으로 측정한 각 xx 를 배로 향하는 시선과 어부의 위치에서 정북 방향으로 그은 선이 이루는 각이라 하자. 정북을 0으로 하고, xx 는 왼쪽으로는 음수, 오른쪽으로는 양수로 측정한다고 가정한다. (그림을 참조하세요.) 배는 정서에서 정동으로 이동하며, 지구의 곡률을 무시할 때 어부에서 배까지의 거리 d(x)d(x), 단위는 킬로미터, 는 함수 d(x)=1.5sec⁡(x)d(x)=1.5\sec (x) 로 주어진다.

  • ⓐd(x)?d(x)? 의 적절한 정의역은 무엇인가요?
  • ⓑ이 정의역에서 d(x)d(x) 의 그래프를 그리세요.
  • ⓒd(x)d(x) 의 그래프에서 수직 점근선을 구하고, 그 의미를 설명하세요.
  • ⓓd(−π3)d\left(-\frac{\pi }{3}\right) 의 값을 구하고 그 의미를 해석하세요. 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.
  • ⓔd(π6)d\left(\frac{\pi }{6}\right) 의 값을 구하고 그 의미를 해석하세요. 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.
  • ⓕ어부와 배 사이의 최소 거리는 얼마인가요? 이는 언제 일어나나요?

한 남자와 그 남자에서 배까지의 거리를 나타낸 그림.

영어 원문 보기

Standing on the shore of a lake, a fisherman sights a boat far in the distance to his left. Let x,x, measured in radians, be the angle formed by the line of sight to the ship and a line due north from his position. Assume due north is 0 and xx is measured negative to the left and positive to the right. (See (the referenced figure).) The boat travels from due west to due east and, ignoring the curvature of the Earth, the distance d(x),d(x), in kilometers, from the fisherman to the boat is given by the function d(x)=1.5sec⁡(x).d(x)=1.5\sec (x).

  • ⓐWhat is a reasonable domain for d(x)?d(x)?
  • ⓑGraph d(x)d(x) on this domain.
  • ⓒFind and discuss the meaning of any vertical asymptotes on the graph of d(x).d(x).
  • ⓓCalculate and interpret d(−π3).d\left(-\frac{\pi }{3}\right). Round to the second decimal place.
  • ⓔCalculate and interpret d(π6).d\left(\frac{\pi }{6}\right). Round to the second decimal place.
  • ⓕWhat is the minimum distance between the fisherman and the boat? When does this occur?

An illustration of a man and the distance he is away from a boat.

정답·풀이 보기
  • ⓐ (−π2, π2);\left(-\frac{\pi }{2},\,\frac{\pi }{2}\right);
  • ⓑ 시컨트 함수의 반 주기를 나타낸 그래프. 수직 점근선은 x=-pi/2 와 pi/2 에 있다.
  • ⓒ x=−π2x=-\frac{\pi }{2} 그리고 x=π2;x=\frac{\pi }{2}; ∣x∣|x| 가 π2\frac{\pi }{2} 에 가까워질수록 거리는 한없이 커진다. 즉, 정북을 나타내는 선과 직각을 이루는 방향에서는 배가 너무 멀리 있어서 어부가 볼 수 없다;
  • ⓓ3; x=−π3x=-\frac{\pi }{3} 일 때 배는 3 km 떨어져 있다;
  • ⓔ 1.73; x=π6x=\frac{\pi }{6} 일 때 배는 약 1.73 km 떨어져 있다;
  • ⓕ 1.5 km; x=0x=0 일 때
원본 교재 풀이(영어)
  • ⓐ (−π2, π2);\left(-\frac{\pi }{2},\,\frac{\pi }{2}\right);
  • ⓑ A graph of a half period of a secant function. Vertical asymptotes at x=-pi/2 and pi/2.
  • ⓒ x=−π2x=-\frac{\pi }{2} and x=π2;x=\frac{\pi }{2}; the distance grows without bound as ∣x∣|x| approaches π2\frac{\pi }{2} —i.e., at right angles to the line representing due north, the boat would be so far away, the fisherman could not see it;
  • ⓓ3; when x=−π3,x=-\frac{\pi }{3}, the boat is 3 km away;
  • ⓔ 1.73; when x=π6,x=\frac{\pi }{6}, the boat is about 1.73 km away;
  • ⓕ 1.5 km; when x=0x=0

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.2절 · 25번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 그래프를 두 주기만큼 그리세요. 늘임 인수, 주기, 점근선을 구하세요.

f(x)=tan⁡(x+π4)f(x)=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)

다 풀었으면 정답 확인

변형된 탄젠트 함수의 그래프를 두 주기만큼 나타낸 것이다. 수직 점근선이 세 개 보인다.

늘임 인수: 1; 주기: π\pi ; 점근선: x=π4+πk, 단, k는 정수x=\frac{\pi }{4}+\pi k,\text{ 단, }k\text{는 정수}

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