삼각함수의 뜻과 관계

$\cos \,x+\cos \,y$ 에서 시작한다. 치환을 하여 $x=\alpha +\beta$, $y=\alpha -\beta$ 라 하면, $\cos \,x+\cos \,y$ 는 다음과 같이 된다.

$\begin{array}{c} \\ \cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta = \\ 2\cos \,\alpha \cos \,\beta \end{array}$

$x=\alpha +\beta$ 이고 $y=\alpha -\beta$ 이므로 $\alpha$ 와 $\beta$ 를 x 와 y 에 대한 식으로 풀어 $2\cos \alpha \cos \beta$ 에 대입하면 $2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ 를 얻는다.