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문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 방정식과 부등식

이차방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Elementary Algebra · 10.1절 · 13번우리말 번역

푸세요: 4n2+4n+1=164{n}^{2}+4n+1=16.

영어 원문 보기

Solve: 4n2+4n+1=164{n}^{2}+4n+1=16.

정답·풀이 보기

이번에도 방정식의 좌변이 완전제곱식인 삼항식임을 알 수 있다. 먼저 이것을 인수분해한다.
4n2+4n+1=164{n}^{2}+4n+1=16
완전제곱식인 삼항식을 인수분해한다. (2n+1)2=16\quad {(2n+1)}^{2}=16
제곱근의 성질을 이용한다. 2n+1=± 16\quad 2n+1=\pm \,\sqrt{16}
근호를 간단히 한다. 2n+1=± 4\quad 2n+1=\pm \,4
n 에 대해 푼다. 2n=−1±4\quad 2n=-1\pm 4
양변을 2로 나눈다. 2n2=−1±42n=−1±42\quad \begin{array}{ccc}\frac{2n}{2} & = & \frac{-1\pm 4}{2} \\ n & = & \frac{-1\pm 4}{2}\end{array}
두 해가 드러나도록 다시 쓴다. n=−1+42,n=−1−42n=\frac{-1+4}{2},n=\frac{-1-4}{2}
각 식을 간단히 한다. n=32,n=−52\quad n=\frac{3}{2},n=-\frac{5}{2}
검산한다. 이차방정식 4n^2 + 4n + 1 = 16 의 두 해(n=3/2 와 n=-5/2)를 확인하는 과정이다. 두 값을 각각 대입하면 모두 올바른 등식 16 = 16 이 성립한다.
원본 교재 풀이(영어)

Again, we notice the left side of the equation is a perfect square trinomial. We will factor it first.
4n2+4n+1=164{n}^{2}+4n+1=16
Factor the perfect square trinomial. (2n+1)2=16\quad {(2n+1)}^{2}=16
Use the Square Root Property. 2n+1=± 16\quad 2n+1=\pm \,\sqrt{16}
Simplify the radical. 2n+1=± 4\quad 2n+1=\pm \,4
Solve for n. 2n=−1±4\quad 2n=-1\pm 4
Divide each side by 2. 2n2=−1±42n=−1±42\quad \begin{array}{ccc}\frac{2n}{2} & = & \frac{-1\pm 4}{2} \\ n & = & \frac{-1\pm 4}{2}\end{array}
Rewrite to show two solutions. n=−1+42,n=−1−42n=\frac{-1+4}{2},n=\frac{-1-4}{2}
Simplify each equation. n=32,n=−52\quad n=\frac{3}{2},n=-\frac{5}{2}
Check. Verification of two solutions (n=3/2 and n=-5/2) for the quadratic equation 4n^2 + 4n + 1 = 16. Both substitutions lead to the correct equality 16 = 16.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.2절 · 4번우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 푸세요: y2−18y=−6.{y}^{2}-18y=-6.

다 풀었으면 정답 확인
두 개의 대수식이 보인다. 위쪽 식은 'x^2 - bx c'이고 'c'가 약간 떨어져 있으며, 그 아래 식은 'y^2 - 18y = -6'이다.
변수가 있는 항이 좌변에 있다. −18-18 의 절반을 구하여 제곱한다.
(12(−18))2=81{\left(\frac{1}{2}(-18)\right)}^{2}=81 수식 y^2 - 18y + (빈칸) = -6 이 보이고, 빈칸 아래에 빨간색 힌트 (1/2 * -18)^2 이 적혀 있다. 이차방정식을 완전제곱식으로 푸는 과정을 나타낸다.
양변에 81을 더한다. 등식 y^2 - 18y + 81 = -6 + 81 이 보인다. 81이 빨간색으로 강조되어 있으며, 완전제곱식으로 이차방정식을 풀 때 양변에 81을 더하는 단계를 나타낸다.
완전제곱 삼항식을 이항식의 제곱으로 나타내어 인수분해한다. 등식 (y-9)^2 = 75 가 보인다. 이 등식에는 변수 y, 뺄셈, 거듭제곱, 그리고 상수와의 등호가 들어 있다.
제곱근의 성질을 이용한다. 등식 y - 9 = +/- sqrt(75) 가 보인다.
근호를 간단히 한다. 'y 빼기 9는 플러스 마이너스 5 곱하기 3의 제곱근과 같다'는 등식이 보인다.
yy 에 대해 푼다. y는 9 플러스 마이너스 5 곱하기 3의 제곱근과 같다는 식이 보인다.
검산한다. 이차방정식 y² - 18y = -6 의 해를 확인하는 과정으로, y에 (9 + 5√3)과 (9 - 5√3)을 각각 대입하면 둘 다 -6 = -6 이 된다.

이를 확인하는 또 다른 방법은 계산기를 사용하는 것이다. 두 해 각각에 대해 y2−18y{y}^{2}-18y 의 값을 구하세요. 답은 −6-6 이 되어야 한다.

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