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문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 방정식과 부등식

이차방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Elementary Algebra · 10.3절 · 9번우리말 번역

각 이차방정식의 해의 개수를 구하세요:

ⓐ 2v2−3v+6=02{v}^{2}-3v+6=0 ⓑ 3x2+7x−9=03{x}^{2}+7x-9=0 ⓒ 5n2+n+4=05{n}^{2}+n+4=0 ⓓ 9y2−6y+1=09{y}^{2}-6y+1=0

영어 원문 보기

Determine the number of solutions to each quadratic equation:

ⓐ 2v2−3v+6=02{v}^{2}-3v+6=0 ⓑ 3x2+7x−9=03{x}^{2}+7x-9=0 ⓒ 5n2+n+4=05{n}^{2}+n+4=0 ⓓ 9y2−6y+1=09{y}^{2}-6y+1=0

정답·풀이 보기

각 이차방정식의 해의 개수를 구하기 위해 판별식을 살펴본다.

ⓐ
2v2−3v+6=0\quad \begin{array}{ccc} \\ 2{v}^{2}-3v+6 & = & 0\end{array}
방정식이 일반형이므로 a, b, c를 찾는다. a=2,b=−3,c=6\begin{array}{ccc} \\ a=2,b=-3,c & = & 6\end{array}
판별식을 쓴다. b2−4ac{b}^{2}-4ac
a, b, c의 값을 대입한다. (3)2−4⋅2⋅6{(3)}^{2}-4\cdot 2\cdot 6
간단히 한다. 9−48−39\begin{array}{c}9-48 \\ -39\end{array}
판별식이 음수이므로 이 방정식의 실수 해는 존재하지 않는다.

ⓑ
3x2+7x−9=0\quad 3{x}^{2}+7x-9=0
방정식이 일반형이므로 a, b, c를 찾는다. a=3,b=7,c=−9a=3,b=7,c=-9
판별식을 쓴다. b2−4ac{b}^{2}-4ac
a, b, c의 값을 대입한다. (7)2−4⋅3⋅(−9){(7)}^{2}-4\cdot 3\cdot (-9)
간단히 한다. 49+108157\begin{array}{c}49+108 \\ 157\end{array}
판별식이 양수이므로 이 방정식의 해는 2개이다.

ⓒ
5n2+n+4=0\quad \begin{array}{ccc} \\ 5{n}^{2}+n+4 & = & 0\end{array}
방정식이 일반형이므로 a, b, c를 찾는다. a=5,b=1,c=4\begin{array}{ccc} \\ a=5,b=1,c & = & 4\end{array}
판별식을 쓴다. b2−4ac{b}^{2}-4ac
a, b, c의 값을 대입한다. (1)2−4⋅5⋅4{(1)}^{2}-4\cdot 5\cdot 4
간단히 한다. 1−80−79\begin{array}{c}1-80 \\ -79\end{array}
판별식이 음수이므로 이 방정식의 실수 해는 존재하지 않는다.

ⓓ
9y2−6y+1=0\quad \begin{array}{ccc} \\ 9{y}^{2}-6y+1 & = & 0\end{array}
방정식이 일반형이므로 a, b, c를 찾는다. a=9,b=−6,c=1\begin{array}{ccc} \\ a=9,b=-6,c & = & 1\end{array}
판별식을 쓴다. b2−4ac{b}^{2}-4ac
a, b, c의 값을 대입한다. (−6)2−4⋅9⋅1{(-6)}^{2}-4\cdot 9\cdot 1
간단히 한다. 36−360\begin{array}{c}36-36 \\ 0\end{array}
판별식이 0이므로 이 방정식의 해는 1개이다.
원본 교재 풀이(영어)

To determine the number of solutions of each quadratic equation, we will look at its discriminant.

ⓐ
2v2−3v+6=0\quad \begin{array}{ccc} \\ 2{v}^{2}-3v+6 & = & 0\end{array}
The equation is in standard form, identify a, b, c. a=2,b=−3,c=6\begin{array}{ccc} \\ a=2,b=-3,c & = & 6\end{array}
Write the discriminant. b2−4ac{b}^{2}-4ac
Substitute in the values of a, b, c. (3)2−4⋅2⋅6{(3)}^{2}-4\cdot 2\cdot 6
Simplify. 9−48−39\begin{array}{c}9-48 \\ -39\end{array}
Because the discriminant is negative, there are no real solutions to the equation.

ⓑ
3x2+7x−9=0\quad 3{x}^{2}+7x-9=0
The equation is in standard form, identify a, b, c. a=3,b=7,c=−9a=3,b=7,c=-9
Write the discriminant. b2−4ac{b}^{2}-4ac
Substitute in the values of a, b, c. (7)2−4⋅3⋅(−9){(7)}^{2}-4\cdot 3\cdot (-9)
Simplify. 49+108157\begin{array}{c}49+108 \\ 157\end{array}
Because the discriminant is positive, there are two solutions to the equation.

ⓒ
5n2+n+4=0\quad \begin{array}{ccc} \\ 5{n}^{2}+n+4 & = & 0\end{array}
The equation is in standard form, identify a, b, c. a=5,b=1,c=4\begin{array}{ccc} \\ a=5,b=1,c & = & 4\end{array}
Write the discriminant. b2−4ac{b}^{2}-4ac
Substitute in the values of a, b, c. (1)2−4⋅5⋅4{(1)}^{2}-4\cdot 5\cdot 4
Simplify. 1−80−79\begin{array}{c}1-80 \\ -79\end{array}
Because the discriminant is negative, there are no real solutions to the equation.

ⓓ
9y2−6y+1=0\quad \begin{array}{ccc} \\ 9{y}^{2}-6y+1 & = & 0\end{array}
The equation is in standard form, identify a, b, c. a=9,b=−6,c=1\begin{array}{ccc} \\ a=9,b=-6,c & = & 1\end{array}
Write the discriminant. b2−4ac{b}^{2}-4ac
Substitute in the values of a, b, c. (−6)2−4⋅9⋅1{(-6)}^{2}-4\cdot 9\cdot 1
Simplify. 36−360\begin{array}{c}36-36 \\ 0\end{array}
Because the discriminant is 0, there is one solution to the equation.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 10.3절 · 8번우리말 번역

근의 공식을 이용하여 4x2−20x=−254{x}^{2}-20x=-25 를 푸세요.

다 풀었으면 정답 확인
흰 배경에 이차방정식 4x^2 - 20x = -25 가 나타나 있다.
양변에 25를 더하여 방정식을 일반형으로 나타낸다. 두 이차방정식이 나타나 있다. 빨간색으로 쓴 일반형 ax^2 + bx + c = 0 과 검은색으로 쓴 구체적인 예 4x^2 - 20x + 25 = 0 이다.
a, b, c 의 값을 찾는다. 변수 a, b, c 에 수가 대응된 모습이 나타나 있다. 구체적으로 a = 4, b = -20, c = 25 이며, 흰 배경 위에 가로로 한 줄로 쓰여 있고 각 값마다 색이 다르다.
근의 공식을 쓴다. x 의 해를 나타내는 근의 공식 x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a) 가 나타나 있다. 이 기본적인 대수 방정식은 이차 다항식의 근을 구하는 데 쓰인다.
그다음 a, b, c 의 값을 대입한다. 구체적인 값을 대입한 근의 공식이 나타나 있다. x = (-(-20) 플러스 마이너스 sqrt((-20)의 제곱 - 4 곱하기 4 곱하기 25) 나누기 (2 곱하기 4) 이다. -20 은 빨간색, 4 는 청록색, 25 는 연두색으로 쓰여 있다.
간단히 한다. 수식이 나타나 있다. x 는 분수와 같고, 분자는 20 플러스 마이너스 400 - 400 의 제곱근이며, 분모는 8 이다. 수식이 나타나 있다. x 는 분수와 같고, 분자는 20 플러스 마이너스 0 의 제곱근이며, 분모는 8 이다.
근호를 간단히 한다. 흰 배경에 'x = 20/8' 이라는 수식이 나타나 있다.
분수를 간단히 한다. 흰 배경에 검은 글씨로 쓴 수식이 나타나 있다. 수식은 'x = 5/2' 이다.
검산한다. 검산은 여러분에게 맡긴다.

4x2−20x+254{x}^{2}-20x+25 가 완전제곱식임을 알아챘나요?

이 문제로 이어서 풀기
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