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문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 방정식과 부등식

이차방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 4번우리말 번역

마이크는 앞마당에 인조 잔디 150제곱피트를 깔려고 합니다. 이는 주택 소유자 협회가 허용하는 인조 잔디의 최대 넓이입니다. 그는 길이가 폭의 3배보다 1피트 짧은 직사각형 모양의 잔디 영역을 만들려고 합니다. 길이와 폭을 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

Mike wants to put 150 square feet of artificial turf in his front yard. This is the maximum area of artificial turf allowed by his homeowners association. He wants to have a rectangular area of turf with length one foot less than three times the width. Find the length and width. Round to the nearest tenth of a foot.

정답·풀이 보기
1단계. 문제를 읽는다. 그림을 그린다. 대수적으로 치수를 나타낸 직사각형이 있다. 폭은 'w'이고 길이는 '3w-1'이다.
2단계. 구하려는 것을 파악한다. 구하려는 것은 길이와 폭이다.
3단계. 구하려는 것에 이름을 붙인다. w=w= 직사각형의 폭이라 하자. 3w−1=3w-1= 직사각형의 길이
4단계. 방정식으로 나타낸다. 넓이를 알고 있다. 직사각형의 넓이 공식을 쓴다. 넓이를 구하는 수학 공식: A = L * W.
5단계. 방정식을 푼다. 값을 대입한다. 흰 배경에 수학 방정식이 있다. 150 = (3w - 1)w 이다. 숫자와 문자는 짙은 회색 글씨이다.
분배법칙을 적용한다. 흰 배경에 수학 방정식이 있다: 150 = 3w^2 - W. 숫자와 문자는 짙은 회색 글씨이다.
이것은 이차방정식이므로 일반형으로 고쳐 쓴다. 두 개의 이차방정식이 있다. 일반형 ax^2 + bx + c = 0 과 구체적인 예인 3w^2 - w - 150 = 0 이다.
근의 공식을 이용하여 방정식을 푼다.
a, b, c 의 값을 찾는다. a = 3, b = -1, c = -150 이라는 변수의 값이 가로 한 줄로 적혀 있으며, 각각 다른 색으로 쓰여 있다. 'a'는 하늘색, 'b'는 빨간색, 'c'는 노란색이다.
근의 공식을 쓴다. 'w'를 변수로 하는 근의 공식이다. w는 분자가 −b 플러스 마이너스 b의 제곱 빼기 4ac의 제곱근이고, 분모가 2a인 분수와 같다.
그다음 a, b, c 의 값을 대입한다. a(3, 파란색), b(-1, 빨간색), c(-150, 노란색)의 값을 대입한 근의 공식으로, W를 구하는 식이다.
간단히 한다. W가 분수 (1 플러스 마이너스 (1 + 1800)의 제곱근)을 6으로 나눈 값과 같다는 방정식이 있다. W가 분수 1 플러스 마이너스 1801의 제곱근을 6으로 나눈 값과 같다는 방정식이 있다.
두 개의 해가 드러나도록 고쳐 쓴다. 이차방정식의 해를 나타내는, 제곱근과 6으로 나누기가 들어 있는 'w'에 대한 두 개의 식이 있다: w = (1 + √1801)/6 과 w = (1 - √1801)/6.
계산기를 사용하여 답을 어림한다. 폭이 될 수 없는 음수인 해는 제외한다. 폭(w ≈ 7.2)과 길이(L ≈ 3w - 1, 따라서 L ≈ 20.6)를 계산하는 풀이 과정이 있으며, 음수인 'w'의 값은 타당하지 않으므로 줄을 그어 지워 놓았다.
6단계. 답을 확인한다. 답이 타당한지 확인한다.
7단계. 질문에 답한다. 직사각형의 폭은 약 7.2피트이고 길이는 약 20.6피트이다.
원본 교재 풀이(영어)
Step 1. Read the problem. Draw a picture. A rectangle is shown with its dimensions labeled algebraically: the width is 'w' and the length is '3w-1'.
Step 2. Identify what we are looking for. We are looking for the length and width.
Step 3. Name what we are looking for. Let w=w= the width of the rectangle. 3w−1=3w-1= the length of the rectangle
Step 4. Translate into an equation. We know the area. Write the formula for the area of a rectangle. The mathematical formula for calculating area: A = L * W.
Step 5. Solve the equation. Substitute in the values. A mathematical equation is displayed on a white background, which reads 150 = (3w - 1)w. The numbers and variables are in a dark gray font.
Distribute. A mathematical equation is displayed on a white background: 150 = 3w^2 - W. The numbers and variables are in a dark gray font.
This is a quadratic equation, rewrite it in standard form. Two quadratic equations are displayed: the general form ax^2 + bx + c = 0, and a specific example 3w^2 - w - 150 = 0.
Solve the equation using the Quadratic Formula.
Identify the a, b, c values. The image displays the variable assignments a = 3, b = -1, c = -150, written in a horizontal line with different colors for each assignment: 'a' in light blue, 'b' in red, and 'c' in yellow.
Write the Quadratic Formula. The quadratic formula with 'w' as the variable, showing w equals negative b plus or minus the square root of b squared minus 4ac, all divided by 2a.
Then substitute in the values of a, b, c. The quadratic formula with substituted values for a (3, blue), b (-1, red), and c (-150, yellow) to solve for W.
Simplify. The image shows a mathematical equation where W is calculated as the fraction of (1 plus or minus the square root of (1 + 1800)) all divided by 6. A mathematical equation shows W equals the fraction of one plus or minus the square root of 1801, all divided by six.
Rewrite to show two solutions. Two mathematical expressions for 'w' are displayed, showing the solutions to a quadratic equation involving a square root and division by six: w = (1 + √1801)/6 and w = (1 - √1801)/6.
Approximate the answers using a calculator. We eliminate the negative solution for the width. Mathematical steps showing the calculation of width (w ≈ 7.2) and length (L ≈ 3w - 1, resulting in L ≈ 20.6), with a negative 'w' value crossed out as invalid.
Step 6. Check the answer. Make sure that the answers make sense.
Step 7. Answer the question. The width of the rectangle is approximately 7.2 feet and the length 20.6 feet.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 10.4절 · 5번우리말 번역

폭죽이 처음 속도 초속 130 피트로 위로 발사됩니다. 높이 260 피트에 도달하는 데 몇 초가 걸리는지 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인
1단계. 문제를 읽는다.
2단계. 구하려는 것을 파악한다. 구하려는 것은 시간인 초의 수이다.
3단계. 구하려는 것에 이름을 붙인다. t=t= 초의 수라 하자.
4단계. 식으로 나타낸다. 공식을 이용한다.
h=−16t2+v0th=-16{t}^{2}+{v}_{0}t\quad
5단계. 방정식을 푼다. 속도 v0{v}_{0} 은 초속 130 피트임을 안다.
높이는 260 피트이다. 값을 대입한다. 흰색 배경에 수식 '260 = -16t^2 + 130t'가 나타나 있다.
이차방정식이므로 일반형으로 고쳐 쓴다. 두 개의 이차방정식이 나타나 있다. 빨간색 글씨로 일반형 ax^2 + bx + c = 0이 있고, 이어서 검은색 글씨로 구체적인 예인 16t^2 - 130t + 260 = 0이 있다.
근의 공식을 이용하여 방정식을 푼다.
a, b, c 의 값을 찾는다. 흰색 배경에 변수와 그 값이 서로 다른 색으로 나타나 있다: a = 16, b = -130, c = 260.
근의 공식을 쓴다. 흰색 배경에 근의 공식이 나타나 있다. t는 분모 2a, 분자 -b 플러스마이너스 b의 제곱 빼기 4ac의 제곱근과 같다.
그다음 a, b, c 의 값을 대입한다. 근의 공식을 이용하여 t를 구하는 식이 나타나 있다. a는 16(하늘색), b는 -130(빨간색), c는 260(노란색)으로 대입되어 있으며, 이차방정식의 근을 구하는 과정이다.
간단히 한다. t를 구하는 식이 나타나 있다. 130 플러스마이너스 16,900과 16,640의 차의 제곱근을 더하거나 뺀 값 전체를 32로 나눈 식이다. 이 식은 이차방정식이나 통계 문제를 풀 때 흔히 쓰인다. 흰색 배경에 수식이 나타나 있다: t = (130 ± √260) / 32.
두 해가 드러나도록 다시 쓴다. t의 두 해가 각각 분수로 나타나 있다: (130 + sqrt(260))/32 와 (130 - sqrt(260))/32.
계산기로 답을 어림한다. t≈4.6\quad t\approx 4.6 초, t≈3.6t\approx 3.6
6단계. 답을 확인한다. 확인은 직접 해 보자.
7단계. 질문에 답한다. 폭죽은 올라갔다가 다시 떨어진다. 폭죽이 올라가면서 약 3.6초 후에 260 피트에 도달한다. 또한 내려오면서 4.6초에 그 높이를 지나간다. 선명한 폭죽이 위로 호를 그리며 올라가 주황색과 노란색 불꽃이 별 모양으로 터지는 모습이 깨끗한 흰색 배경 위에 나타나 있다.
이 문제로 이어서 풀기
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