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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 방정식과 부등식

이차함수의 최대·최소

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 11번우리말 번역

이차방정식 y=x2+2x−8y={x}^{2}+2x-8 의 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum value of the quadratic equation y=x2+2x−8y={x}^{2}+2x-8.

정답·풀이 보기
수학 방정식 y = x^2 + 2x - 8 이 표시되어 있다. 방정식은 깔끔한 디지털 글꼴로 흰 배경 위에 쓰여 있으며, 대수식만 보이도록 되어 있다.
a가 양수이므로 포물선은 아래로 볼록하다.
이차방정식은 최솟값을 갖는다.
대칭축을 구한다. 수학 방정식 'x = -b/2a' 가 흰 배경에 검은 글씨로 표시되어 있다. 이 공식은 이차방정식에서 포물선의 꼭짓점의 x좌표를 구하는 데 쓰인다. x는 −2를 2와 1의 곱으로 나눈 값과 같다는 수학 방정식으로, x = -2/(2*1) 로 쓰여 있다. 흰 배경에 평범한 검은 글씨로 'X = -1' 이라고 쓰인 수학 방정식이 표시되어 있다. 대칭축은 x=−1x=-1 이다.
꼭짓점은 직선 x=−1x=-1 위에 있다. 대수 방정식 y = x^2 + 2x - 8 이 표시되어 있다.
x=−1x=-1 일 때 y의 값을 구한다. 이 그림은 방정식 y = (-1)^2 + 2(-1) - 8 을 보여 주며, 이는 이차함수에 x = -1 을 대입하여 계산하는 과정이다. 흰 배경에 y는 1 빼기 2 빼기 8과 같다는 수학 방정식(y=1-2-8)이 쓰여 있다. 흰 배경에 평범한 검은 글씨로 수학 방정식 'y = -9' 가 표시되어 있으며, 이는 직교좌표평면 위의 수평선을 나타낸다. 꼭짓점은 (−1,−9)(-1,-9) 이다.
포물선이 최솟값을 가지므로 꼭짓점의 y좌표가 이차방정식의 y의 최솟값이다.
이차식의 최솟값은 −9-9 이며, x=−1x=-1 일 때 나타난다.
그래프를 그려 결과를 확인한다. 아래로 볼록한 포물선이 좌표평면 위에 그려져 있으며, 꼭짓점은 (-1, -9) 이다. x=-1 에서 붉은색 점선으로 된 수직인 직선이 대칭축을 나타낸다.
원본 교재 풀이(영어)
A mathematical equation is displayed: y = x^2 + 2x - 8. The equation is rendered in a clear, digital font against a plain white background, focusing entirely on the algebraic expression.
Since a is positive, the parabola opens upward.
The quadratic equation has a minimum.
Find the axis of symmetry. A mathematical equation displays 'x = -b/2a' in black text on a white background. This formula is used to find the x-coordinate of the vertex of a parabola in a quadratic equation. A mathematical equation shows x equals negative 2 divided by the product of 2 and 1, written as x = -2/(2*1). The image displays a mathematical equation in plain black text against a white background, which states 'X = -1'. The axis of symmetry is x=−1x=-1.
The vertex is on the line x=−1.x=-1. The algebraic equation y = x^2 + 2x - 8 is shown.
Find y when x=−1.x=-1. The image shows the equation y = (-1)^2 + 2(-1) - 8, which is an evaluation of a quadratic function at x = -1. A mathematical equation showing y equals one minus two minus eight (y=1-2-8) on a white background. The image displays the mathematical equation 'y = -9' in simple black text against a plain white background, indicating a horizontal line on a Cartesian plane. The vertex is (−1,−9)(-1,-9).
Since the parabola has a minimum, the *y-*coordinate of the vertex is the minimum *y-*value of the quadratic equation.
The minimum value of the quadratic is −9-9 and it occurs when x=−1x=-1.
Show the graph to verify the result. A parabola opening upwards is plotted on a coordinate plane, with its vertex at (-1, -9). A dashed red vertical line at x=-1 represents the axis of symmetry.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 12번우리말 번역

이차방정식 h=−16t2+v0t+h0h=-16{t}^{2}+{v}_{0}t+{h}_{0} 은 높이 4 피트에서 초속 176 피트의 속도로 곧장 위로 친 배구공의 높이를 나타낸다.

  • ⓐ 배구공이 최고 높이에 도달하는 데 몇 초가 걸립니까?
  • ⓑ 배구공의 최고 높이를 구하세요.
다 풀었으면 정답 확인

h=−16t2+176t+4h=-16{t}^{2}+176t+4

a가 음수이므로 포물선은 아래로 열린다.

이차방정식은 최댓값을 가진다.

  • ⓐ 대칭축을 구하세요.t=−b2at=−1762(−16)t=5.5대칭축은 t=5.5 이다.꼭짓점은 직선 t=5.5  위에 있다.최댓값은 t=5.5 초일 때 나타난다.\begin{array}{cccc}\text{대칭축을 구하세요.} & & & \quad \begin{array}{c}t=-\frac{b}{2a} \\ t=-\frac{176}{2(-16)} \\ t=5.5\end{array} \\ & & & \quad \text{대칭축은}\,t=5.5\,\text{이다.} \\ \text{꼭짓점은 직선}\,t=5.5\,\text{ 위에 있다.} & & & \quad \text{최댓값은}\,t=5.5\,\text{초일 때 나타난다.}\end{array}
  • ⓑ
    t=5.5t=5.5 일 때 h 를 구하세요. 수식이 하나 나타나 있으며, h = -16t^2 + 176t + 4 라고 쓰여 있다. 이것은 이차방정식으로, 포물선 운동이나 그 밖의 포물선 형태의 현상을 나타내는 데 자주 쓰인다. 수식이 나타나 있으며, h = -16(5.5)^2 + 176 * (5.5) + 4 를 보여 준다. 여기서 숫자 5.5는 빨간색으로 강조되어 있다.
    계산기를 사용하여 간단히 하세요. 흰 배경에 단순하고 선명한 글씨체로 'h = 488'이라는 글이 나타나 있다. 변수에 값을 대입한 식이거나 측정값처럼 보인다.
    꼭짓점은 (5.5,488)(5.5,488) 이다.
    포물선이 최댓값을 가지므로 꼭짓점의 h 좌표가 이차방정식의 최대 y 값이다. 이차식의 최댓값은 488 피트이고, t=5.5t=5.5 초일 때 나타난다.
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# 이차함수의 최대·최소계산자동 분류

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