일차방정식 연습문제 — OpenStax Elementary Algebra · 3.3절 · 1번

OpenStax Elementary Algebra · 3.3절 · 1번우리말 번역

아달베르토의 주머니에는 10센트 동전과 5센트 동전으로 $2.25가 있습니다. 5센트 동전이 10센트 동전보다 9개 더 많습니다. 각 동전은 몇 개씩 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

Adalberto has $2.25 in dimes and nickels in his pocket. He has nine more nickels than dimes. How many of each type of coin does he have?

정답·풀이 보기

1단계. 문제를 읽는다. 문제의 모든 말과 개념을 이해했는지 확인한다.

문제에 나오는 동전의 종류를 파악한다. 한 줌의 동전의 금액을 구할 때 썼던 방법을 떠올려 보자. 먼저 어떤 종류의 동전이 나오는지 알아야 한다. 아달베르토에게는 10센트 동전과 5센트 동전이 있다.
정보를 정리하기 위해 표를 만든다. 아래 표를 보자.
열의 이름을 "종류", "개수", "금액", "총금액"으로 붙인다.
동전의 종류를 적는다.
각 동전의 금액을 적는다.
모든 동전의 총금액을 적는다. 이 문제는 모두 센트로 풀 수도 있고 달러로 풀 수도 있다. 여기서는 달러로 풀고, 표에 달러 기호($)를 넣어 표시한다. 10센트 동전의 금액은 $0.10이고 5센트 동전의 금액은 $0.05이다. 모든 동전의 총금액은 $2.25이다. 아래 표는 이 정보를 나타낸다.

2단계. 구하려는 것을 확인한다.

아달베르토가 가진 10센트 동전과 5센트 동전의 개수를 구하는 것이다.

3단계. 구하려는 것에 이름을 붙인다. 그 양을 나타낼 문자를 정한다.

각 동전의 개수를 문자를 사용한 식으로 나타내어 표에 적는다.
개수와 금액을 곱하여 각 동전의 총금액을 구한다.

다음으로 각 동전의 개수를 세었다. 이 문제에서는 각 동전의 개수를 셀 수 없다. 그것이 구하려는 것이기 때문이다. 하지만 단서가 있다. 5센트 동전이 10센트 동전보다 9개 더 많다. 5센트 동전의 개수는 10센트 동전의 개수보다 9 큰 수이다.

$\begin{array}{ccc}\text{문자}\,d & = & \text{10센트 동전의 개수} \\ d+9 & = & \text{5센트 동전의 개수}\end{array}$

모든 것을 정리하기 위해 표의 "개수" 열을 채운다.

이 표는 3행 4열이며 4열 맨 아래에 칸이 하나 더 있습니다. 맨 윗줄은 머리글 행으로, 왼쪽에서 오른쪽으로 종류, 개수, 금액(＄), 총금액(＄)이라고 쓰여 있습니다. 둘째 행에는 10센트 동전, d, 0.10, 빈칸이 있습니다. 셋째 행에는 5센트 동전, d 더하기 9, 0.05, 빈칸이 있습니다. 추가된 칸에는 2.25가 쓰여 있습니다.

이제 문제에서 필요한 정보를 모두 얻었다!

개수와 금액을 곱하여 각 동전의 총금액을 구한다. 실제 개수는 모르지만 그것을 나타내는 식이 있다.

그러므로 이제 $number\cdot value=total\,value$ 를 계산한다. 아래 표에서 어떻게 하는지 보자.

이 표는 3행 4열이며 4열 맨 아래에 칸이 하나 더 있습니다. 맨 윗줄은 머리글 행으로, 왼쪽에서 오른쪽으로 종류, 개수, 금액(＄), 총금액(＄)이라고 쓰여 있습니다. 둘째 행에는 10센트 동전, d, 0.10, 0.10d가 있습니다. 셋째 행에는 5센트 동전, d 더하기 9, 0.05, 0.05 곱하기 (d 더하기 9)가 있습니다. 추가된 칸에는 2.25가 쓰여 있습니다.

표의 머리글이 이 모형을 보여 주도록 만들었음에 주목하자.

4단계. 방정식으로 나타낸다. 문제를 한 문장으로 다시 말해 보면 도움이 될 수 있다. 영어 문장을 대수 방정식으로 나타낸다.

모든 종류의 동전의 총금액을 더하여 방정식을 쓴다.

"10센트 동전의 금액 더하기 5센트 동전의 금액은 동전의 총금액과 같다"라는 문장을 방정식으로 나타낼 수 있습니다. "10센트 동전의 금액"은 0.10d로, "5센트 동전의 금액"은 0.05d로, "동전의 총금액"은 2.25로 나타냅니다. 완성된 방정식은 0.10d 더하기 0.05 곱하기 (d 더하기 9)는 2.25와 같다입니다.

5단계. 올바른 대수 기법으로 방정식을 푼다.


이제 이 방정식을 푼다.
분배법칙을 적용한다.
동류항을 간단히 한다.
양변에서 0.45를 뺀다.
나눈다.
따라서 10센트 동전은 12개이다.
5센트 동전의 개수는 $d+9$ 이다.

	21 $\quad$

6단계. 구한 답이 문제에 맞는지 확인하고, 말이 되는지 살펴본다.

맞는지 확인해 보자.


10센트 동전 12개	$12(0.10)=1.20$
5센트 동전 21개	$\begin{array}{c}21(0.05)=\underset{\_\_\_\_}{1.05} \\ \quad \char36 2.25\checkmark \end{array}$

7단계. 완전한 문장으로 답한다.

아달베르토에게는 10센트 동전이 12개, 5센트 동전이 21개 있다.

숙제라면 풀이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

문장제: 아달베르토는 10센트 동전과 5센트 동전으로 ＄2.25를 가지고 있습니다. 5센트 동전이 10센트 동전보다 9개 더 많습니다. 표는 각 동전 종류의 개수, 금액, 총금액을 정리합니다. 풀이는 10센트 동전이 12개, 5센트 동전이 21개임을 구하는 데 쓰인 방정식들을 보여 주고, 총금액을 확인하는 검산이 함께 나와 있습니다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1. Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.

Determine the types of coins involved. Think about the strategy we used to find the value of the handful of coins. The first thing we need is to notice what types of coins are involved. Adalberto has dimes and nickels.
Create a table to organize the information. See chart below.
Label the columns “type,” “number,” “value,” “total value.”
List the types of coins.
Write in the value of each type of coin.
Write in the total value of all the coins. We can work this problem all in cents or in dollars. Here we will do it in dollars and put in the dollar sign ($) in the table as a reminder. The value of a dime is $0.10 and the value of a nickel is $0.05. The total value of all the coins is $2.25. The table below shows this information.

Step 2. Identify what we are looking for.

We are asked to find the number of dimes and nickels Adalberto has.

Step 3. Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity.

Use variable expressions to represent the number of each type of coin and write them in the table.
Multiply the number times the value to get the total value of each type of coin.

Next we counted the number of each type of coin. In this problem we cannot count each type of coin—that is what you are looking for—but we have a clue. There are nine more nickels than dimes. The number of nickels is nine more than the number of dimes.

$\begin{array}{ccc}\text{Let}\,d & = & \text{number of dimes.} \\ d+9 & = & \text{number of nickels}\end{array}$

Fill in the “number” column in the table to help get everything organized.

This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value (＄), and Total Value (＄). The second row reads Dimes, d, 0.10, and blank. The third row reads Nickels, d plus 9, 0.05, and blank. The extra cell reads 2.25.

Now we have all the information we need from the problem!

We multiply the number times the value to get the total value of each type of coin. While we do not know the actual number, we do have an expression to represent it.

And so now multiply $number\cdot value=total\,value.$ See how this is done in the table below.

This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value (＄), and Total Value (＄). The second row reads Dimes, d, 0.10, and 0.10d. The third row reads Nickels, d plus 9, 0.05, and 0.05 times the quantity (d plus 9). The extra cell reads 2.25.

Notice that we made the heading of the table show the model.

Step 4. Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence. Translate the English sentence into an algebraic equation.

Write the equation by adding the total values of all the types of coins.

The sentence, “value of dimes plus value of nickels equals total value of coins,” can be translated to an equation. Translate “value of dimes” to 0.10d, translate “value of nickles” to 0.05d, and translate “total value of coins” to 2.25. The full equation is 0.10d plus 0.05 times the quantity d plus 9 equals 2.25.

Step 5. Solve the equation using good algebra techniques.


Now solve this equation.
Distribute.
Combine like terms.
Subtract 0.45 from each side.
Divide.
So there are 12 dimes.
The number of nickels is $d+9$ .

	21 $\quad$

Step 6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.

Does this check?


12 dimes	$12(0.10)=1.20$
21 nickels	$\begin{array}{c}21(0.05)=\underset{\_\_\_\_}{1.05} \\ \quad \char36 2.25\checkmark \end{array}$

Step 7. Answer the question with a complete sentence.

Adalberto has twelve dimes and twenty-one nickels.

If this were a homework exercise, our work might look like the following.

Word problem: Adalberto has ＄2.25 in dimes and nickels. He has nine more nickels than dimes. A table organizes the number, value, and total value of each coin type. The solution shows the equations used to determine he has twelve dimes and twenty-one nickels, with a check confirming the total amount.

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