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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 다항식

나머지정리와 인수정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Elementary Algebra · 6.6절 · 10번우리말 번역

몫을 구하세요: (x3−x2+x+4)÷(x+1).({x}^{3}-{x}^{2}+x+4)\div (x+1).

영어 원문 보기

Find the quotient: (x3−x2+x+4)÷(x+1).({x}^{3}-{x}^{2}+x+4)\div (x+1).

정답·풀이 보기
다항식 x의 세제곱 빼기 x의 제곱 더하기 x 더하기 4를 다른 다항식 x 더하기 1로 나눈다.
이를 필산 나눗셈(장제법) 형태로 쓴다.
피제수가 내림차순으로 정리된 꼴인지 확인한다. x의 세제곱 빼기 x의 제곱 더하기 x 더하기 4를 x 더하기 1로 나누는 필산 나눗셈이다.
x3을 x로 나눈다. 그 답 x2을 몫에서 x2항 위에 쓴다. x2에 x + 1을 곱한다. 동류항끼리 피제수 아래에 맞추어 쓴다. x의 제곱 안에 x가 x번 들어간다. 필산 나눗셈 기호에서 x의 세제곱 빼기 x의 제곱 더하기 x 더하기 4의 둘째 항 위에 x가 쓰여 있다.
x3 − x2에서 x3 + x2을 빼되, 부호를 바꾸어 더한다. 그런 뒤 이어지는 항을 내려 쓴다. x의 세제곱 빼기 x의 제곱과 음의 x의 세제곱 더하기 음의 x의 제곱의 합은 음의 2 x의 제곱이며, 이것이 음의 x의 제곱 아래에 쓰여 있다. x의 세제곱 빼기 x의 제곱 더하기 x 더하기 4의 그다음 항이 음의 2 x의 제곱 옆으로 내려와 음의 2 x의 제곱 더하기 x가 된다.
−2x2을 x로 나눈다. 그 답 −2x를 몫에서 x항 위에 쓴다. −2x에 x + 1을 곱한다. 동류항끼리 피제수 아래에 맞추어 쓴다. 필산 나눗셈 기호 위쪽, x의 제곱 옆이자 x의 세제곱 빼기 x의 제곱 더하기 x 더하기 4의 x 위에 빼기 2 x가 쓰여 있다. 음의 2 x의 제곱 더하기 x 아래에 음의 2 x의 제곱 빼기 2 x가 쓰여 있다.
−2x2 + x에서 −2x2 − 2x를 빼되, 부호를 바꾸어 더한다. 그런 뒤 마지막 항을 내려 쓴다. 음의 2 x의 제곱 더하기 x와 2 x의 제곱 더하기 2 x의 합은 3 x이다. x의 세제곱 빼기 x의 제곱 더하기 x 더하기 4의 마지막 항이 내려와 3 x 더하기 4가 된다.
3x를 x로 나눈다. 그 답 3을 몫에서 상수항 위에 쓴다. 3에 x + 1을 곱한다. 동류항끼리 피제수 아래에 맞추어 쓴다. 필산 나눗셈 기호 위쪽, x의 세제곱 빼기 x의 제곱 더하기 x 더하기 4의 4 위에 더하기 3이 쓰여 있다. 3 x 더하기 4 아래에 3 x 더하기 3이 쓰여 있다.
3x + 4에서 3x + 3을 빼되, 부호를 바꾸어 더한다. 나머지는 제수를 분모로 하는 분수로 쓴다. 3 x 더하기 4와 음의 3 x 더하기 음의 3의 합은 1이다. 따라서 다항식 x의 세제곱 빼기 x의 제곱 더하기 x 더하기 4를 이항식 x 더하기 1로 나눈 결과는 x의 제곱 빼기 2 x 더하기 분수 x 더하기 1분의 1이다.
검산하려면 (x+1)(x2−2x+3+1x+1)(x+1)({x}^{2}-2x+3+\frac{1}{x+1}) 을 곱한다. 결과는 x3−x2+x+4{x}^{3}-{x}^{2}+x+4 이어야 한다.
원본 교재 풀이(영어)
A polynomial, x cubed minus x squared plus x plus 4, divided by another polynomial, x plus 1.
Write it as a long division problem.
Be sure the dividend is in standard form. The long division of x cubed minus x squared plus x plus 4 by x plus 1.
Divide x3 by x. Put the answer, x2, in the quotient over the x2 term. Multiply x2 times x + 1. Line up the like terms under the dividend. x fits into x squared x times. x is written above the second term of x cubed minus x squared plus x plus 4 in the long division bracket.
Subtract x3 + x2 from x3 − x2 by changing the signs and adding. Then bring down the next term. The sum of x cubed minus x squared and negative x cubed plus negative x squared is negative 2 x squared, which is written underneath the negative x squared. The next term in x cubed minus x squared plus x plus 4 is brought down next to negative 2 x squared, making negative 2 x squared plus x.
Divide −2x2 by x. Put the answer, −2x, in the quotient over the x term. Multiply −2x times x + 1. Line up the like terms under the dividend. Minus 2 x is written on top of the long division bracket, next to x squared and above the x in x cubed minus x squared plus x plus 4. Negative 2 x squared minus 2 x is written under negative 2 x squared plus x.
Subtract −2x2 − 2x from −2x2 + x by changing the signs and adding. Then bring down the last term. The sum of negative 2 x squared plus x and 2 x squared plus 2 x is found to be 3 x. The last term in x cubed minus x squared plus x plus 4 is brought down, making 3 x plus 4.
Divide 3x by x. Put the answer, 3, in the quotient over the constant term. Multiply 3 times x + 1. Line up the like terms under the dividend. Plus 3 is written on top of the long division bracket, above the 4 in x cubed minus x squared plus x plus 4. 3 x plus 3 is written under 3 x plus 4.
Subtract 3x + 3 from 3x + 4 by changing the signs and adding. Write the remainder as a fraction with the divisor as the denominator. The sum of 3 x plus 4 and negative 3 x plus negative 3 is 1. Therefore, the polynomial x cubed minus x squared plus x plus 4, divided by the binomial x plus 1, equals x squared minus 2 x plus the fraction 1 over x plus 1.
To check, multiply (x+1)(x2−2x+3+1x+1).(x+1)({x}^{2}-2x+3+\frac{1}{x+1}). The result should be x3−x2+x+4{x}^{3}-{x}^{2}+x+4.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 1번우리말 번역

몫을 구하세요: 54a2b3÷(−6ab5).54{a}^{2}{b}^{3}\div (-6a{b}^{5}).

다 풀었으면 정답 확인

변수가 둘 이상인 단항식을 나눌 때는 변수마다 분수를 하나씩 쓴다.
54a2b3÷(−6ab5)54{a}^{2}{b}^{3}\div (-6a{b}^{5})
분수로 고쳐 쓴다. 54a2b3−6ab5\frac{54{a}^{2}{b}^{3}}{-6a{b}^{5}}
분수의 곱셈을 이용한다. 54−6⋅a2a⋅b3b5\frac{54}{-6}\cdot \frac{{a}^{2}}{a}\cdot \frac{{b}^{3}}{{b}^{5}}
간단히 하고 몫의 성질을 이용한다. −9⋅a⋅1b2-9\cdot a\cdot \frac{1}{{b}^{2}}
곱한다. −9ab2-\frac{9a}{{b}^{2}}
이 문제로 이어서 풀기
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