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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 다항식

나머지정리와 인수정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Elementary Algebra · 6.6절 · 11번우리말 번역

몫을 구하세요: (x4−x2+5x−2)÷(x+2).({x}^{4}-{x}^{2}+5x-2)\div (x+2).

영어 원문 보기

Find the quotient: (x4−x2+5x−2)÷(x+2).({x}^{4}-{x}^{2}+5x-2)\div (x+2).

정답·풀이 보기

피제수에 x3{x}^{3} 항이 없음에 주목한다. 자리를 채우기 위해 0x30{x}^{3} 을 더해 준다.
x의 4제곱 빼기 x의 제곱 빼기 5x 빼기 2라는 다항식을 또 다른 다항식 x 더하기 2로 나눈다.
긴 나눗셈 꼴로 쓴다. 피제수는 빠진 항의 자리를 채워 내림차순으로 정리한 꼴이어야 한다. x의 4제곱 더하기 0x의 세제곱 빼기 x의 제곱 빼기 5x 빼기 2를 x 더하기 2로 나누는 긴 나눗셈이다.
x4 을 x 로 나눈다. 그 결과 x3 을 몫의 x3 항 위에 쓴다. x3 에 x + 2 를 곱한다. 동류항끼리 줄을 맞춘다. 뺀 다음 그다음 항을 내려 쓴다. 긴 나눗셈 기호 위, 피제수의 x의 세제곱 항 위에 x의 세제곱이 쓰여 있다. 피제수의 처음 두 항 아래에서 x의 4제곱 더하기 2x의 세제곱을 빼면 −2x의 세제곱 빼기 x의 제곱이 된다. 나눗셈 옆에는 "부호를 바꾸어 더하면 편리할 수 있다."라는 메모가 있다.
−2x3 을 x 로 나눈다. 그 결과 −2x2 을 몫의 x2 항 위에 쓴다. −2x2 에 x + 1 을 곱한다. 동류항끼리 줄을 맞춘다. 뺀 다음 그다음 항을 내려 쓴다. 긴 나눗셈 기호 위에 x의 세제곱 빼기 2x의 제곱이 쓰여 있다. 나눗셈 아래쪽에서 −2x의 세제곱 빼기 4x의 제곱을 빼면 3x의 제곱 더하기 5x가 된다. 메모에는 "부호를 바꾸어 더하면 편리할 수 있다."라고 쓰여 있다.
3x2 을 x 로 나눈다. 그 결과 3x 를 몫의 x 항 위에 쓴다. 3x 에 x + 1 을 곱한다. 동류항끼리 줄을 맞춘다. 뺀 다음 그다음 항을 내려 쓴다. 긴 나눗셈 기호 위에 x의 세제곱 빼기 2x의 제곱 더하기 3x가 쓰여 있다. 나눗셈 아래쪽에서 3x의 제곱 더하기 6x를 빼면 −x 빼기 2가 된다. 메모에는 "부호를 바꾸어 더하면 편리할 수 있다."라고 쓰여 있다.
−x 를 x 로 나눈다. 그 결과 −1 을 몫의 상수항 위에 쓴다. −1 에 x + 1 을 곱한다. 동류항끼리 줄을 맞춘다. 부호를 바꾸어 더한다. 긴 나눗셈 기호 위에 x의 세제곱 빼기 2x의 제곱 더하기 3x 빼기 1이 쓰여 있다. 나눗셈 아래쪽에서 −x 빼기 2를 빼면 0이 된다. 메모에는 "부호를 바꾸어 더하면 편리할 수 있다."라고 쓰여 있다. 다항식 x의 4제곱 빼기 x의 제곱 더하기 5x 빼기 2를 이항식 x 더하기 2로 나눈 값은 다항식 x의 세제곱 빼기 2x의 제곱 더하기 3x 빼기 1과 같다.
검산하기 위해 (x+2)(x3−2x2+3x−1)(x+2)({x}^{3}-2{x}^{2}+3x-1) 을 계산한다.
그 결과가 x4−x2+5x−2{x}^{4}-{x}^{2}+5x-2 와 같아야 한다.
원본 교재 풀이(영어)

Notice that there is no x3{x}^{3} term in the dividend. We will add 0x30{x}^{3} as a placeholder.
A polynomial, x to the fourth power minus x squared minus 5 x minus 2, divided by another polynomial, x plus 2.
Write it as a long division problem. Be sure the dividend is in standard form with placeholders for missing terms. The long division of x to the fourth power plus 0 x cubed minus x squared minus 5 x minus 2 by x plus 2.
Divide x4 by x. Put the answer, x3, in the quotient over the x3 term. Multiply x3 times x + 2. Line up the like terms. Subtract and then bring down the next term. x cubed is written on top of the long division bracket above the x cubed term in the dividend. Below the first two terms of the dividend x to the fourth power plus 2 x cubed is subtracted to give negative 2 x cubed minus x squared. A note next to the division reads “It may be helpful to change the signs and add.”
Divide −2x3 by x. Put the answer, −2x2, in the quotient over the x2 term. Multiply −2x2 times x + 1. Line up the like terms. Subtract and bring down the next term. x cubed minus 2 x squared is written on top of the long division bracket. At the bottom of the long division negative 2 x cubed minus 4 x squared is subtracted to give 3 x squared plus 5 x. A note reads “It may be helpful to change the signs and add.”
Divide 3x2 by x. Put the answer, 3x, in the quotient over the x term. Multiply 3x times x + 1. Line up the like terms. Subtract and bring down the next term. x cubed minus 2 x squared plus 3 x is written on top of the long division bracket. At the bottom of the long division 3 x squared plus 6 x is subtracted to give negative x minus 2. A note reads “It may be helpful to change the signs and add.”
Divide −x by x. Put the answer, −1, in the quotient over the constant term. Multiply −1 times x + 1. Line up the like terms. Change the signs, add. x cubed minus 2 x squared plus 3 x minus 1 is written on top of the long division bracket. At the bottom of the long division negative x minus 2 is subtract to give 0. A note reads “It may be helpful to change the signs and add.” The polynomial x to the fourth power minus x squared plus 5 x minus 2, divided by the binomial x plus 2 equals the polynomial x cubed minus 2 x squared plus 3 x minus 1.
To check, multiply (x+2)(x3−2x2+3x−1)(x+2)({x}^{3}-2{x}^{2}+3x-1).
The result should be x4−x2+5x−2{x}^{4}-{x}^{2}+5x-2.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 2번우리말 번역

몫을 구하세요: 14x7y1221x11y6.\frac{14{x}^{7}{y}^{12}}{21{x}^{11}{y}^{6}}.

다 풀었으면 정답 확인

공통인수로 약분하여 1421\frac{14}{21} 을 간단히 하고, 지수를 빼서 문자를 간단히 하는 데 매우 주의한다.
14x7y1221x11y6\frac{14{x}^{7}{y}^{12}}{21{x}^{11}{y}^{6}}
간단히 하고 몫의 성질을 이용한다. 2y63x4\frac{2{y}^{6}}{3{x}^{4}}
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