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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

합성함수와 역함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 8번우리말 번역

f(x)=4x+7f(x)=4x+7 의 역함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the inverse of f(x)=4x+7.f(x)=4x+7.

정답·풀이 보기

1단계는 f(x) 를 y 로 바꾸어 쓰는 것이다. 이를 위해 f(x) 를 y 로 대체한다. 따라서 f(x) 는 4x 더하기 7과 같다는 식은 y 는 4x 더하기 7과 같다는 식이 된다.

2단계는 변수 x 와 y 를 서로 바꾸는 것이다. 이를 위해 x 를 y 로 바꾸고, 그다음 y 를 x 로 바꾼다. 따라서 x 는 4y 더하기 7과 같다는 식을 얻는다.

3단계는 y 에 대해 푸는 것이다. 이를 위해 양변에서 7을 빼고 4로 나눈다. 따라서 x 빼기 7은 4y와 같고, 이어서 x 빼기 7을 4로 나눈 값은 y 와 같다.

4단계는 y 를 f 의 역함수 x 에서의 값, 즉 f 위 첨자 마이너스 1의 x 로 바꾸어 쓰는 것이다. 이를 위해 y 를 f 위 첨자 마이너스 1의 x 로 대체한다. 따라서 x 빼기 7을 4로 나눈 값은 f 위 첨자 마이너스 1의 x 와 같다.

5단계는 두 함수가 서로 역함수인지 확인하는 것이다. 이를 위해 f 위 첨자 마이너스 1의 f(x) 가 x 와 같고, f 의 f 위 첨자 마이너스 1의 x 도 x 와 같음을 보인다. 먼저 f 의 역함수의 4x 더하기 7에서의 값이 x 와 같은지 묻는다. 이는 4x 더하기 7 빼기 7을 모두 4로 나눈 값이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 4x를 4로 나눈 값이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 참이다. 반대쪽을 보이기 위해 f 의 f 의 역함수 x 에서의 값이 x 와 같은지 살펴본다. 이는 f 의 x 빼기 7을 4로 나눈 값에서의 값이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 4 곱하기 x 빼기 7을 4로 나눈 값이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 x 빼기 7 더하기 7이 x 와 같은지의 문제가 된다. 이는 참이다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1 is to substitute y for f of x. To do so, we replace f of x with y. Hence, f of x equals 4 x plus 7 becomes y equals 4 x plus 7.

Step 2 is to interchange the variables x and y. To do so, we replace x with y and then y with x. Hence, we obtain x equals 4y plus 7.

Step 3 is to solve for y. To do so, we subtract 7 from each side and then divide by 4. Hence, we have x minus 7 equals 4y and then the quantity x minus 7 divided by 4 equals y.

Step 4 is to substitute f superscript negative 1 of x for y. To do so, we replace y with f superscript negative 1 of x. Hence, the quantity x minus 7 divided by 4 equals f superscript negative 1 of x.

Step 5 is to verify that the functions are inverses. To do so, we show that f superscript negative 1 of f of x equals x and that f of f superscript negative 1of x equals x. Hence, we ask whether f inverse of 4x plus 7 equals x. This becomes a question of whether 4 x plus 7 minus 7 all divided by 4 equals x. This becomes a question of whether 4x divided by 4 equals x. This is true. To show the other side, we examine whether f of f inverse of x equals x. This becomes a question of whether f of the quantity x minus 7 divided by 4 equals x. This becomes a question of whether 4 times the quantity x minus 7 divided by 4 equals x. This becomes a question of whether x minus 7 plus 7 equals x. This is true.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 43번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 역함수를 구하세요.

f(x)=x6f(x)=\frac{x}{6}

다 풀었으면 정답 확인

f−1(x)=6x{f}^{-1}(x)=6x

이 문제로 이어서 풀기
# 합성함수와 역함수계산자동 분류

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