빌드라인 스쿨

문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

합성함수와 역함수

합성함수와 일대일대응의 역함수를 구하고 그래프의 관계를 안다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

420문제 · 1 / 21쪽

1.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 11번우리말 풀이

두 함수 f(x)=2x3f(x)=2x^3, g(x)=3x2+2g(x)=3x^2+2 에 대하여 ⓐ (f∘g)(−1)(f\circ g)(-1) ⓑ (g∘f)(1)(g\circ f)(1) ⓒ (g∘g)(1)(g\circ g)(1) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the values described.

For functions f(x)=2x3f(x)=2{x}^{3} and g(x)=3x2+2,g(x)=3{x}^{2}+2, find ⓐ (f∘g)(−1)(f\circ g)(-1) ⓑ (g∘f)(1)(g\circ f)(1) ⓒ (g∘g)(1)(g\circ g)(1)

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
ⓒ
풀이 보기

(f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x)) 는 안쪽 함수의 값을 먼저 구한 뒤 바깥 함수에 넣어요.

  1. 1

    ⓐ g(−1)=3⋅1+2=5g(-1)=3\cdot1+2=5 이고 f(5)=2⋅125=250f(5)=2\cdot125=250 이에요.

  2. 2

    ⓑ f(1)=2⋅1=2f(1)=2\cdot1=2 이고 g(2)=3⋅4+2=14g(2)=3\cdot4+2=14 예요.

  3. 3

    ⓒ g(1)=3+2=5g(1)=3+2=5 이고 g(5)=3⋅25+2=77g(5)=3\cdot25+2=77 이에요.

  4. 4

    순서를 기억해요. ⓐ와 ⓑ는 같은 두 함수를 쓰지만 순서가 바뀌면 값이 250250 과 1414 로 달라요.

답

ⓐ 250250 ⓑ 1414 ⓒ 7777

자주 하는 실수

(f∘g)(x)(f\circ g)(x) 를 gg 에 먼저 넣지 않고 ff 에 먼저 넣는 실수가 많아요. 안쪽(오른쪽)에 있는 함수부터 계산해요.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ 250 ⓑ 14 ⓒ 77

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 1번
# 합성함수와 역함수계산보통
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 3.4절 · 77번우리말 풀이

f(x)=2x2+1, g(x)=3x+5f(x)=2x^{2}+1,\ g(x)=3x+5 일 때, 합성함수 f(g(x))f(g(x)) 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the functions f(x)=2x2+1f(x)=2{x}^{2}+1 and g(x)=3x+5g(x)=3x+5 to evaluate or find the composite function as indicated.

f(g(x))f(g(x))

답 쓰고 채점
풀이 보기

f(g(x))f(g(x)) 는 ff 의 xx 자리에 g(x)g(x) 전체를 넣는 거예요.

  1. 1

    안쪽 함수를 대입해요. f(g(x))=2 (g(x))2+1=2(3x+5)2+1f(g(x))=2\,(g(x))^{2}+1=2(3x+5)^{2}+1

  2. 2

    제곱을 전개해요. (3x+5)2=9x2+30x+25(3x+5)^{2}=9x^{2}+30x+25 예요.

  3. 3

    2배 하고 1을 더해요. 2(9x2+30x+25)+1=18x2+60x+50+1=18x2+60x+512(9x^2+30x+25)+1=18x^2+60x+50+1=18x^2+60x+51

답

f(g(x))=18x2+60x+51f(g(x))=18x^{2}+60x+51

자주 하는 실수

(3x+5)2(3x+5)^2 를 9x2+259x^2+25 로 쓰면 가운데 항 30x30x 가 빠져요. 또 순서를 바꿔 g(f(x))g(f(x)) 를 구하면 6x2+86x^2+8 이 되어 완전히 달라요.

원본 교재 풀이(영어)

18x2+60x+5118{x}^{2}+60x+51

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 11번
# 합성함수와 역함수계산보통
3.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 1번우리말 번역

f(x)=2x−3f(x)=2x-3 이고 g(x)=x2+2x−3g(x)={x}^{2}+2x-3 일 때, f(4)f(4) 를 구하세요.

영어 원문 보기

If f(x)=2x−3f(x)=2x-3 and g(x)=x2+2x−3,g(x)={x}^{2}+2x-3, find f(4).f(4).

정답·풀이 보기

ⓐ f(4)=5f(4)=5; ⓑ g(f(4))=32g(f(4))=32

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ f(4)=5f(4)=5; ⓑ g(f(4))=32g(f(4))=32

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 3.4절 · 69번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
4.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 2번우리말 번역

3x+2y=123x+2y=12 를 xx 에 대해 푸세요.

영어 원문 보기

Solve for x,x, 3x+2y=12.3x+2y=12.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

x=−23y+4x=-\frac{2}{3}y+4

원본 교재 풀이(영어)

x=−23y+4x=-\frac{2}{3}y+4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 3번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
5.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 3번우리말 번역

간단히 하세요: 5(x+4)5−4.5\frac{(x+4)}{5}-4.

영어 원문 보기

Simplify: 5(x+4)5−4.5\frac{(x+4)}{5}-4.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

xx

원본 교재 풀이(영어)

xx

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 3.4절 · 49번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
6.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 1번우리말 번역

함수 f(x)=4x−5f(x)=4x-5 와 g(x)=2x+3g(x)=2x+3 에 대하여 ⓐ (f∘g)(x),(f\circ g)(x), ⓑ (g∘f)(x),(g\circ f)(x), ⓒ (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x) 를 구하세요.

영어 원문 보기

For functions f(x)=4x−5f(x)=4x-5 and g(x)=2x+3,g(x)=2x+3, find: ⓐ (f∘g)(x),(f\circ g)(x), ⓑ (g∘f)(x),(g\circ f)(x), and ⓒ (f⋅g)(x).(f\cdot g)(x).

정답·풀이 보기

ⓐ
(f∘g)(x)(f\circ g)(x) 의 정의를 이용한다. 합성함수의 정의를 나타내는 그림으로, (f o g)(x)는 f(g(x))와 같다고 적혀 있다. 이 수학 표기는 한 함수의 결과에 다른 함수를 적용하는 방법을 설명한다.
흰 배경에 검은 글씨로 'g(x) 자리에 2x + 3을 대입한다'라는 글이 표시되어 있으며, '2x + 3'은 빨간 글씨로 강조되어 있다. 두 함수의 합성 (f o g)(x)를 나타내는 수학 표기로, 이는 다시 f(2x + 3)으로 표현되며 안쪽 함수 g(x)가 2x + 3임을 의미한다.
f(x) = 4x - 5일 때 f(2x + 3)을 구하는 수학 문제이다. 변수 대입을 나타내기 위해 '2x + 3'이 빨간색으로 강조되어 있고, 'f(x)'의 'x'와 '4x'도 빨간색으로 강조되어 있다. 두 함수 f와 g의 합성 (f o g)(x) = 4(2x + 3) - 5를 나타내는 수학 등식이다. 식 2x+3이 빨간색으로 강조되어 있다.
분배법칙을 적용한다. 두 함수의 합성 (f ∘ g)(x)가 식 8x + 12 - 5와 같음을 보여 주는 수학 등식이다. 이를 간단히 하면 (f ∘ g)(x) = 8x + 7이다.
간단히 한다. 합성함수의 식 (f o g)(x) = 8x + 7을 나타내는 그림이다. 여기서 'f'와 'g'는 함수이고 'o'는 그 합성을 뜻한다.

ⓑ
(f∘g)(x)(f\circ g)(x) 의 정의를 이용한다. 합성함수의 정의: (g o f)(x) = g(f(x)).
f(x) 자리에 4x - 5를 대입한다. 함수의 합성을 나타내는 그림으로, (g o f)(x)가 g(4x - 5)임을 보여 준다.
g(x) = 2x + 3일 때 g(4x - 5)를 구하세요. 함수의 합성 (g o f)(x) = 2(4x - 5) + 3을 나타내는 수학 등식으로, 4x - 5 부분이 빨간색으로 강조되어 있다.
분배법칙을 적용한다. 합성함수 (g o f)(x)가 8x - 10 + 3과 같음을 보여 주는 수학 등식이다.
간단히 한다. 두 함수의 합성 (g o f)(x)가 8x - 7과 같음을 나타내는 그림이다.

ⓐ와 ⓑ의 결과가 서로 다름에 주목한다.

ⓒ (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x) 는 (f∘g)(x)(f\circ g)(x) 와 다름에 주목한다. ⓐ에서는 함수의 합성을 하였다. 이제 ⓒ에서는 함수를 합성하는 것이 아니라 곱한다.

정의를 이용한다: (f⋅g)(x).(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)대입한다: f(x)=4x−5 그리고 g(x)=2x+3.(f⋅g)(x)=(4x−5)⋅(2x+3)곱한다.(f⋅g)(x)=8x2+2x−15\begin{array}{cccccc}\text{정의를 이용한다:}\,(f\cdot g)(x). & & & & & (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \\ \text{대입한다:}\,f(x)=4x-5\,\text{그리고}\,g(x)=2x+3. & & & & & (f\cdot g)(x)=(4x-5)\cdot (2x+3) \\ \text{곱한다.} & & & & & (f\cdot g)(x)=8{x}^{2}+2x-15\end{array}

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ
Use the definition of (f∘g)(x).(f\circ g)(x). The image shows the definition of a composite function, stating that (f o g)(x) is equal to f(g(x)). This mathematical notation explains how to apply one function to the result of another function.
The text 'Substitute 2x + 3 for g(x)' is displayed in black font, with '2x + 3' highlighted in red font, against a white background. Mathematical notation demonstrating the composition of two functions, (f o g)(x), which is further expressed as f(2x + 3), implying that the inner function g(x) is equal to 2x + 3.
A mathematical problem asking to find f(2x + 3) given that f(x) = 4x - 5. The expression '2x + 3' is highlighted in red, as is the 'x' in 'f(x)' and '4x' to denote variable substitution. The image shows a mathematical equation for the composition of two functions, f and g, denoted as (f o g)(x) = 4(2x + 3) - 5. The expression 2x+3 is highlighted in red.
Distribute. A mathematical equation shows the composition of two functions, (f ∘ g)(x), which equals the expression 8x + 12 - 5. This simplifies to (f ∘ g)(x) = 8x + 7.
Simplify. The image shows the mathematical expression for a composite function, stating that (f o g)(x) = 8x + 7, where 'f' and 'g' are functions and 'o' denotes their composition.

ⓑ
Use the definition of (f∘g)(x).(f\circ g)(x). The definition of a composite function: (g o f)(x) = g(f(x)).
Substitute 4x - 5 for f(x). The image displays the composition of functions, showing (g o f)(x) as g(4x - 5).
Find g(4x - 5) where g(x) = 2x + 3. A mathematical equation showing the composition of functions (g o f)(x) = 2(4x - 5) + 3, with the term 4x - 5 highlighted in red.
Distribute. A mathematical equation shows a composite function (g o f)(x) equals 8x - 10 + 3.
Simplify. The image shows the composition of two functions (g o f)(x) equal to 8x - 7.

Notice the difference in the result in part ⓐ and part ⓑ.

ⓒ Notice that (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x) is different than (f∘g)(x).(f\circ g)(x). In part ⓐ we did the composition of the functions. Now in part ⓒ we are not composing them, we are multiplying them.

Use the definition of (f⋅g)(x).(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)Substitute f(x)=4x−5 and g(x)=2x+3.(f⋅g)(x)=(4x−5)⋅(2x+3)Multiply.(f⋅g)(x)=8x2+2x−15\begin{array}{cccccc}\text{Use the definition of}\,(f\cdot g)(x). & & & & & (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \\ \text{Substitute}\,f(x)=4x-5\,\text{and}\,g(x)=2x+3. & & & & & (f\cdot g)(x)=(4x-5)\cdot (2x+3) \\ \text{Multiply.} & & & & & (f\cdot g)(x)=8{x}^{2}+2x-15\end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 3번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
7.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 1번우리말 번역

함수 f(x)=3x−2f(x)=3x-2 와 g(x)=5x+1g(x)=5x+1 에 대해 ⓐ (f∘g)(x)(f\circ g)(x) ⓑ (g∘f)(x)(g\circ f)(x) ⓒ (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x) 를 구하세요.

영어 원문 보기

For functions f(x)=3x−2f(x)=3x-2 and g(x)=5x+1,g(x)=5x+1, find ⓐ (f∘g)(x)(f\circ g)(x) ⓑ (g∘f)(x)(g\circ f)(x) ⓒ (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x).

정답·풀이 보기

ⓐ 15x+115x+1 ⓑ 15x−915x-9 ⓒ 15x2−7x−215{x}^{2}-7x-2

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ 15x+115x+1 ⓑ 15x−915x-9 ⓒ 15x2−7x−215{x}^{2}-7x-2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 1.7절 · 41번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
8.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 2번우리말 번역

함수 f(x)=4x−3f(x)=4x-3 와 g(x)=6x−5g(x)=6x-5 에 대해 ⓐ (f∘g)(x),(f\circ g)(x), ⓑ (g∘f)(x)(g\circ f)(x), 그리고 ⓒ (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x) 를 구하세요.

영어 원문 보기

For functions f(x)=4x−3,f(x)=4x-3, and g(x)=6x−5,g(x)=6x-5, find ⓐ (f∘g)(x),(f\circ g)(x), ⓑ (g∘f)(x),(g\circ f)(x), and ⓒ (f⋅g)(x).(f\cdot g)(x).

정답·풀이 보기

ⓐ 24x−2324x-23 ⓑ 24x−2324x-23 ⓒ 24x2−38x+1524{x}^{2}-38x+15

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ 24x−2324x-23 ⓑ 24x−2324x-23 ⓒ 24x2−38x+1524{x}^{2}-38x+15

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 3번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
9.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 2번우리말 번역

함수 f(x)=x2−4f(x)={x}^{2}-4 와 g(x)=3x+2g(x)=3x+2 에 대하여 ⓐ (f∘g)(−3),(f\circ g)(-3), ⓑ (g∘f)(−1),(g\circ f)(-1), ⓒ (f∘f)(2)(f\circ f)(2) 를 구하세요.

영어 원문 보기

For functions f(x)=x2−4,f(x)={x}^{2}-4, and g(x)=3x+2,g(x)=3x+2, find: ⓐ (f∘g)(−3),(f\circ g)(-3), ⓑ (g∘f)(−1),(g\circ f)(-1), and ⓒ (f∘f)(2).(f\circ f)(2).

정답·풀이 보기

ⓐ
(f∘g)(−3)(f\circ g)(-3) 의 정의를 이용한다. 두 함수 f와 g의 합성을 나타내는 수학 식이다. -3에서의 값을 나타내는 표기 (f o g)(-3)이 f(g(-3))과 같다고 분명하게 보여 준다.
g(x) = 3x + 2일 때, x = -3에서 함수 g의 값을 구하라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 합성함수 (f o g)(-3)을 f(3 * (-3) + 2)로 전개한 수학 등식이다. 전개한 식에서 -3이 빨간색으로 강조되어 있어 계산에서 이 수가 하는 역할을 나타낸다.
간단히 하세요. f와 g의 합성을 -3에서 계산한 값이 f를 -7에서 계산한 값과 같음을, 즉 (f ∘ g)(-3) = f(-7)로 나타낸 수학 등식이다.
'f(x) = x^2 - 4일 때, f(-7)을 구하세요.'라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 합성함수를 나타내는 수학 식 (f o g)(-3) = (-7)^2 - 4가 나타난 이미지이다. -7이 빨간색으로 강조되어 있어 대입 또는 계산의 중간 단계임을 나타낸다.
간단히 하세요. 합성함수를 나타내는 수학 식 (f o g)(-3) = 45가 나타난 이미지이다.

ⓑ
(g∘f)(−1)(g\circ f)(-1) 의 정의를 이용한다. 합성함수 표기로, -1에서 (g와 f의 합성)의 값이 f(-1)에서의 g의 값, 즉 g(f(-1))과 같음을 나타낸다.
함수 f(x) = x^2 - 4가 주어졌을 때 f(-1)의 값을 구하라는 수학 문제이다. 흰 배경 위의 글씨가 선명하게 읽힌다. 함수의 합성을 보여 주는 수학 등식으로, -1에서 (g와 f의 합성)의 값이 식 (-1)^2 - 4에서의 g의 값, 즉 g((-1)^2 - 4)가 됨을 나타낸다. 지수 부분의 -1이 강조되어 있다.
간단히 하세요. 두 함수의 합성을 나타내는 수학 등식 (g o f)(-1) = g(-3)이다.
'g(x) = 3x + 2일 때, g(-3)을 구하세요.'라는 수학 문제이다. -3과 g(x), 3x에 있는 변수 x가 빨간색으로 강조되어 있다. 합성함수의 값을 계산하는 수학 등식 (g f)(-1) = 3(-3) + 2가 나타난 이미지이다. -3이 빨간색으로 강조되어 있다.
간단히 하세요. 두 함수의 합성을 나타내는 수학 식 (g o f)(-1) = -7이다. 흰 배경에 검은 글씨로 쓰여 있으며, 함수의 값을 계산한 결과가 음의 정수임을 나타낸다.

ⓒ
(f∘f)(2)(f\circ f)(2) 의 정의를 이용한다. (f o f)(2) = f(f(2))가 나타나 있으며, 함수 f를 자기 자신과 합성하여 x=2에서 계산한 것을 보여 준다.
함수 f(x) = x^2 - 4가 주어졌을 때 f(2)의 값을 구하라는 수학 문제이다. 2와 f(x)에 있는 변수 x가 빨간색으로 강조되어 있다. 합성함수 (f o f)(2)가 f(2^2 - 4)와 같음을 나타내는 수학 등식이다. 2^2의 지수 2가 빨간색으로 강조되어 있어 식의 특정 부분을 가리킨다.
간단히 하세요. 함수를 자기 자신과 합성하여 2에서 계산한 값이 0에서의 함수의 값과 같음을, 즉 (f o f)(2) = f(0)으로 나타낸 수학 등식이다.
'f(x) = x^2 - 4일 때, f(0)을 구하세요.'라는 수학 문제가 나타난 이미지이다. 함수를 자기 자신과 합성하여 2에서 계산한 값 (f o f)(2)가 0의 제곱에서 4를 뺀 값, 즉 0^2 - 4와 같다고 나타낸 수학 등식이다. 0이 빨간색으로 강조되어 있다.
간단히 하세요. (f o f)(2) = -4라는 수학 식이 나타나 있다. 이는 합성함수 f(f(x))를 2에서 계산한 값이 -4임을 나타낸다. 표기가 선명하며 가운데에 놓여 있다.
원본 교재 풀이(영어)

ⓐ
Use the definition of (f∘g)(−3).(f\circ g)(-3). A mathematical expression showing the composition of two functions, f and g, evaluated at -3. The notation (f o g)(-3) is explicitly shown to be equal to f(g(-3)).
The image displays a mathematical problem asking to find the value of the function g at x = -3, given that g(x) = 3x + 2. A mathematical equation shows the composition of functions (f o g)(-3) expanded as f(3 * (-3) + 2). The number -3 is highlighted in red within the expanded expression, indicating its role in the calculation.
Simplify. A mathematical equation showing the composition of functions, stating that (f composed with g) evaluated at -3 is equal to f evaluated at -7, written as (f ∘ g)(-3) = f(-7).
The image shows a mathematical problem that asks to 'Find f(-7) where f(x) = x^2 - 4.' The image shows the mathematical expression for a composite function: (f o g)(-3) = (-7)^2 - 4. The value -7 is highlighted in red, indicating a substitution or an intermediate step in the calculation.
Simplify. The image shows the mathematical expression for a composite function: (f o g)(-3) = 45.

ⓑ
Use the definition of (g∘f)(−1).(g\circ f)(-1). Composite function notation showing that (g composed with f) of negative 1 equals g of f of negative 1.
A mathematics problem asks to find the value of f(-1) given the function f(x) = x^2 - 4. The text is clear and readable on a white background. A mathematical equation demonstrating function composition, (g composed with f) at -1, which simplifies to g evaluated at the expression (-1)^2 - 4. The -1 in the exponent is highlighted.
Simplify. A mathematical equation showing the composition of two functions, (g o f)(-1) = g(-3).
A math problem states: 'Find g(-3) where g(x) = 3x + 2.' The number -3 and the variable x in g(x) and 3x are highlighted in red. The image shows the mathematical equation for a composite function evaluation, specifically (g f)(-1) = 3(-3) + 2, where -3 is highlighted in red.
Simplify. A mathematical expression showing the composition of two functions: (g o f)(-1) = -7. The expression is rendered in black text on a white background, representing a function evaluation resulting in a negative integer.

ⓒ
Use the definition of (f∘f)(2).(f\circ f)(2). (f o f)(2) = f(f(2)) is shown, illustrating the composition of function f with itself, evaluated at x=2.
A mathematical problem asking to find the value of f(2) given the function f(x) = x^2 - 4. The number 2 and the variable x in f(x) are highlighted in red. A mathematical equation shows the composite function (f o f)(2) is equal to f(2^2 - 4). The number 2 in the exponent of 2^2 is highlighted in red, indicating a specific part of the expression.
Simplify. A mathematical equation shows the composition of a function with itself evaluated at 2, equaling the function evaluated at 0: (f o f)(2) = f(0).
The image shows the mathematical problem: Find f(0) where f(x) = x^2 - 4. A mathematical equation showing the composition of a function with itself evaluated at 2, setting (f o f)(2) equal to 0 squared minus 4. The number 0 is highlighted in red.
Simplify. A mathematical expression reads (f o f)(2) = -4, representing the composite function f of f evaluated at 2 equals -4. The notation is clear and centrally positioned.
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 5번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
10.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 3번우리말 번역

함수 f(x)=x2−9f(x)={x}^{2}-9 와 g(x)=2x+5g(x)=2x+5 에 대하여 ⓐ (f∘g)(−2),(f\circ g)(-2), ⓑ (g∘f)(−3),(g\circ f)(-3), ⓒ (f∘f)(4)(f\circ f)(4) 를 구하세요.

영어 원문 보기

For functions f(x)=x2−9,f(x)={x}^{2}-9, and g(x)=2x+5,g(x)=2x+5, find ⓐ (f∘g)(−2),(f\circ g)(-2), ⓑ (g∘f)(−3),(g\circ f)(-3), and ⓒ (f∘f)(4).(f\circ f)(4).

정답·풀이 보기

ⓐ –8 ⓑ 5 ⓒ 40

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ –8 ⓑ 5 ⓒ 40

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 1.7절 · 43번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
11.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 4번우리말 번역

함수 f(x)=x2+1f(x)={x}^{2}+1 과 g(x)=3x−5g(x)=3x-5 에 대하여 ⓐ (f∘g)(−1),(f\circ g)(-1), ⓑ (g∘f)(2),(g\circ f)(2), ⓒ (f∘f)(−1)(f\circ f)(-1) 을 구하세요.

영어 원문 보기

For functions f(x)=x2+1,f(x)={x}^{2}+1, and g(x)=3x−5,g(x)=3x-5, find ⓐ (f∘g)(−1),(f\circ g)(-1), ⓑ (g∘f)(2),(g\circ f)(2), and ⓒ (f∘f)(−1).(f\circ f)(-1).

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ⓐ
ⓑ
ⓒ
정답·풀이 보기

ⓐ 65 ⓑ 10 ⓒ 5

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ 65 ⓑ 10 ⓒ 5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 1장 복습 · 43번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
12.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 3번우리말 번역

순서쌍의 각 집합이 함수를 나타내는지 판단하고, 함수이면 그 함수가 일대일인지 판단하세요.

ⓐ {(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\} 그리고 ⓑ {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}.\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}.

영어 원문 보기

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and, if so, if the function is one-to-one.

ⓐ {(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\} and ⓑ {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}.\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}.

정답·풀이 보기

ⓐ

{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\end{array}

각 x값은 y값 하나에만 대응된다. 따라서 이 관계는 함수이다.

그러나 각 y값이 x값 하나에만 대응되는 것은 아니다. 예를 들어 (−3,27)(-3,27) 과 (3,27)(3,27) 이 그렇다. 따라서 이 함수는 일대일이 아니다.

ⓑ

{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\end{array}

각 x값은 y값 하나에만 대응된다. 따라서 이 관계는 함수이다.

각 y값이 x값 하나에만 대응되므로 이 함수는 일대일이다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ

{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\end{array}

Each x-value is matched with only one y-value. So this relation is a function.

But each y-value is not paired with only one x-value, (−3,27)(-3,27) and (3,27),(3,27), for example. So this function is not one-to-one.

ⓑ

{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}\begin{array}{ccccc} & & & & \quad \{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\end{array}

Each x-value is matched with only one y-value. So this relation is a function.

Since each y-value is paired with only one x-value, this function is one-to-one.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 2번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
13.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 5번우리말 번역

순서쌍의 각 집합이 함수를 나타내는지 판단하고, 함수이면 그 함수가 일대일인지 판단하세요.

ⓐ {(−3,−6),(−2,−4),(−1,−2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)}\{(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)\} ⓑ {(−4,8),(−2,4),(−1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)}\{(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)\}

영어 원문 보기

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

ⓐ {(−3,−6),(−2,−4),(−1,−2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)}\{(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)\} ⓑ {(−4,8),(−2,4),(−1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)}\{(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)\}

정답·풀이 보기

ⓐ 일대일 함수 ⓑ 함수이다; 일대일이 아니다

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ One-to-one function ⓑ Function; not one-to-one

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 1장 복습 · 78번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
14.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 6번우리말 번역

순서쌍의 각 집합이 함수를 나타내는지 판단하고, 함수이면 그 함수가 일대일인지 판단하세요.

ⓐ {(27,−3),(8,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)}\{(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)\} ⓑ {(7,−3),(−5,−4),(8,0),(0,0),(−6,4),(−2,2),(−1,3)}\{(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)\}

영어 원문 보기

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

ⓐ {(27,−3),(8,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)}\{(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)\} ⓑ {(7,−3),(−5,−4),(8,0),(0,0),(−6,4),(−2,2),(−1,3)}\{(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)\}

정답·풀이 보기

ⓐ 함수가 아니다 ⓑ 함수이다; 일대일이 아니다

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ Not a function ⓑ Function; not one-to-one

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Precalculus · 1장 복습 · 41번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
15.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 4번우리말 번역

각 그래프가 ⓐ 함수의 그래프인지 판단하고, 그렇다면 ⓑ 일대일 함수인지 판단하세요.

첫 번째 그래프는 (0, 2)와 (3, 0)을 지나는 직선을 보여 준다. 두 번째 그래프는 꼭짓점이 (0, -1)이고 위로 열린 포물선을 보여 준다.

영어 원문 보기

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

This first graph shows a straight line passing through (0, 2) and (3, 0). This second shows a parabola opening up with vertex at (0, negative 1).

정답·풀이 보기

ⓐ

이 그림은 (0, 2)와 (3, 0)을 지나는 직선과, 직선과 한 점에서만 만나는 빨간색 세로 직선, 직선과 한 점에서만 만나는 파란색 가로 직선을 보여 준다.

어떤 세로 직선도 그래프와 많아야 한 점에서 만나므로, 이 그래프는 함수의 그래프이다. 어떤 가로 직선도 그래프와 많아야 한 점에서 만나므로, 이 그래프는 일대일 함수의 그래프이다.

ⓑ

이 그림은 꼭짓점이 (0, -1)이고 위로 열린 포물선과, 포물선과 한 점에서만 만나는 빨간색 세로 직선, 포물선과 두 점에서 만나는 파란색 가로 직선을 보여 준다.

어떤 세로 직선도 그래프와 많아야 한 점에서 만나므로, 이 그래프는 함수의 그래프이다. 그래프에 나타낸 가로 직선은 그래프와 두 점에서 만난다. 이 그래프는 일대일 함수를 나타내지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ

This figure shows a straight line passing through (0, 2) and (3, 0), with a red vertical line that only passes through one point and a blue horizontal line that only passes through one point.

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. Since any horizontal line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a one-to-one function.

ⓑ

This figure shows a parabola opening up with vertex at (0, negative 1), with a red vertical line that only passes through one point and a blue horizontal line that passes through two points.

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. The horizontal line shown on the graph intersects it in two points. This graph does not represent a one-to-one function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 47번
# 합성함수와 역함수그래프·표 해석자동 분류
16.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 7번우리말 번역

각 그래프가 함수의 그래프인지 판단하고, 그렇다면 일대일 함수인지 판단하세요.

그래프 a는 꼭짓점이 (-1, 0)이고 오른쪽으로 열린 포물선을 보여 준다. 그래프 b는 x축과 만나지 않고 (0, 1)을 지난 뒤 빠르게 증가하는 지수함수를 보여 준다.

영어 원문 보기

Determine whether each graph is the graph of a function and, if so, whether it is one-to-one.

Graph a shows a parabola opening to the right with vertex at (negative 1, 0). Graph b shows an exponential function that does not cross the x axis and that passes through (0, 1) before increasing rapidly.

정답·풀이 보기

ⓐ 함수가 아니다 ⓑ 일대일 함수

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ Not a function ⓑ One-to-one function

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 1번
# 합성함수와 역함수그래프·표 해석자동 분류
17.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 8번우리말 번역

각 그래프가 함수의 그래프인지 판단하고, 그렇다면 일대일 함수인지 판단하세요.

그래프 a는 꼭짓점이 (0, 3)이고 위로 열린 포물선을 보여 준다. 그래프 b는 (0, -2)와 (2, 0)을 지나는 직선을 보여 준다.

영어 원문 보기

Determine whether each graph is the graph of a function and, if so, whether it is one-to-one.

Graph a shows a parabola opening up with vertex at (0, 3). Graph b shows a straight line passing through (0, negative 2) and (2, 0).

정답·풀이 보기

ⓐ 함수이다; 일대일 함수가 아니다 ⓑ 일대일 함수

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ Function; not one-to-one ⓑ One-to-one function

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 9번
# 합성함수와 역함수그래프·표 해석자동 분류
18.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 5번우리말 번역

함수 {(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\} 의 역함수를 구하세요. 역함수의 정의역과 치역을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the inverse of the function {(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}.\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}. Determine the domain and range of the inverse function.

정답·풀이 보기

모든 xx 값이 정확히 하나의 yy 값과 짝을 이루므로 이 함수는 일대일 함수이다.

역함수를 구하려면 함수의 순서쌍에서 xx 값과 yy 값을 서로 바꾼다.
함수 {(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}
역함수 {(3,0),(5,1),(7,2),(9,3)}\{(3,0),(5,1),(7,2),(9,3)\}
역함수의 정의역 {3,5,7,9}\{3,5,7,9\}
역함수의 치역 {0,1,2,3}\{0,1,2,3\}
원본 교재 풀이(영어)

This function is one-to-one since every xx-value is paired with exactly one yy-value.

To find the inverse we reverse the xx-values and yy-values in the ordered pairs of the function.
Function {(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}
Inverse Function {(3,0),(5,1),(7,2),(9,3)}\{(3,0),(5,1),(7,2),(9,3)\}
Domain of Inverse Function {3,5,7,9}\{3,5,7,9\}
Range of Inverse Function {0,1,2,3}\{0,1,2,3\}
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 4번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
19.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 9번우리말 번역

{(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)}\{(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)\} 의 역함수를 구하세요. 역함수의 정의역과 치역을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the inverse of {(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)}.\{(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)\}. Determine the domain and range of the inverse function.

정답·풀이 보기

역함수: {(4,0),(7,1),(10,2),(13,3)}\{(4,0),(7,1),(10,2),(13,3)\}. 정의역: {4,7,10,13}\{4,7,10,13\}. 치역: {0,1,2,3}.\{0,1,2,3\}.

원본 교재 풀이(영어)

Inverse function: {(4,0),(7,1),(10,2),(13,3)}.\{(4,0),(7,1),(10,2),(13,3)\}. Domain: {4,7,10,13}.\{4,7,10,13\}. Range: {0,1,2,3}.\{0,1,2,3\}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 4번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류
20.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 10번우리말 번역

{(−1,4),(−2,1),(−3,0),(−4,2)}\{(-1,4),(-2,1),(-3,0),(-4,2)\} 의 역을 구하세요. 그 역함수의 정의역과 치역을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the inverse of {(−1,4),(−2,1),(−3,0),(−4,2)}.\{(-1,4),(-2,1),(-3,0),(-4,2)\}. Determine the domain and range of the inverse function.

정답·풀이 보기

역함수: {(4,−1),(1,−2),(0,−3),(2,−4)}\{(4,-1),(1,-2),(0,-3),(2,-4)\}. 정의역: {0,1,2,4}\{0,1,2,4\}. 치역: {−4,−3,−2,−1}.\{-4,-3,-2,-1\}.

원본 교재 풀이(영어)

Inverse function: {(4,−1),(1,−2),(0,−3),(2,−4)}.\{(4,-1),(1,-2),(0,-3),(2,-4)\}. Domain: {0,1,2,4}.\{0,1,2,4\}. Range: {−4,−3,−2,−1}.\{-4,-3,-2,-1\}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 3.4절 · 11번
# 합성함수와 역함수계산자동 분류