로그함수 연습문제 — OpenStax Intermediate Algebra · 10.5절 · 4번

OpenStax Intermediate Algebra · 10.5절 · 4번우리말 번역

${5}^{x}=11$ 을 푸세요. 정확한 답을 구한 다음, 소수 셋째 자리까지 어림하세요.

영어 원문 보기

Solve ${5}^{x}=11.$ Find the exact answer and then approximate it to three decimal places.

정답·풀이 보기


	$\quad \begin{array}{ccc}{5}^{x} & = & 11\end{array}$
지수식이 홀로 있으므로 양변에 로그를 취한다. 거듭제곱의 성질을 이용하여 $x$ 가 지수가 아니라 곱의 인수가 되게 한다. $x$ 에 대해 푼다. 정확한 답을 구한다. 답을 어림한다.	$\begin{array}{ccc}\log {5}^{x} & = & \log 11 \\ x\log 5 & = & \log 11 \\ x & = & \frac{\log 11}{\log 5} \\ x & \approx & 1.490\end{array}$
${5}^{1}=5$ 이고 ${5}^{2}=25$ 이므로, ${5}^{1.490}\approx 11$ 이라는 것이 타당한가?

원본 교재 풀이(영어)


	$\quad \begin{array}{ccc}{5}^{x} & = & 11\end{array}$
Since the exponential is isolated, take the logarithm of both sides. Use the Power Property to get the $x$ as a factor, not an exponent. Solve for $x.$ Find the exact answer. Approximate the answer.	$\begin{array}{ccc}\log {5}^{x} & = & \log 11 \\ x\log 5 & = & \log 11 \\ x & = & \frac{\log 11}{\log 5} \\ x & \approx & 1.490\end{array}$
Since ${5}^{1}=5$ and ${5}^{2}=25,$ does it makes sense that ${5}^{1.490}\approx 11?$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.5절 · 7번우리말 번역

연구자들은 어떤 박테리아 개체 수가 3시간 만에 100에서 300으로 증가했다고 기록했습니다. 이 증가율로 계속 증가한다면, 실험을 시작하고 24시간 후에는 박테리아가 몇 마리가 되겠습니까?

다 풀었으면 정답 확인

이 문제는 크게 두 단계가 필요하다. 먼저 모르는 증가율 k를 구해야 한다. 그런 다음 그 k의 값을 이용하여 모르는 박테리아 수를 구한다.


공식에서 변수를 찾는다.	$\begin{array}{ccc}A & = & 300 \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & ? \\ t & = & 3\,\text{시간} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}$
공식에 값을 대입한다.	$300=100{e}^{k\cdot 3}$
$k$ 에 대해 푼다. 양변을 100으로 나눈다.	$\quad 3={e}^{3k}$
양변에 자연로그를 취한다.	$\,\ln 3=\ln \,{e}^{3k}$
거듭제곱의 성질을 이용한다.	$\,\ln 3=3k\ln \,e$
간단히 한다.	$\,\ln 3=3k$
양변을 3으로 나눈다.	$\,\frac{\ln 3}{3}=k$
답을 어림한다.	$\quad k\approx 0.366$
이 증가율을 이용하여 24시간 후의 박테리아 수를 예측한다.	$\begin{array}{ccc}A & = & ? \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & \frac{\ln 3}{3} \\ t & = & 24\,\text{시간} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}$
값을 대입한다.	$A=100{e}^{\frac{\ln 3}{3}\cdot 24}$
값을 구한다.	$A\approx 656,100$
	이 증가율이라면 박테리아가 656,100마리가 될 것으로 예상할 수 있다.

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