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문제 은행 · 기초 수학 · 대수 · 지수함수와 로그함수

로그함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 10.5절 · 7번우리말 번역

연구자들은 어떤 박테리아 개체 수가 3시간 만에 100에서 300으로 증가했다고 기록했습니다. 이 증가율로 계속 증가한다면, 실험을 시작하고 24시간 후에는 박테리아가 몇 마리가 되겠습니까?

영어 원문 보기

Researchers recorded that a certain bacteria population grew from 100 to 300 in 3 hours. At this rate of growth, how many bacteria will there be 24 hours from the start of the experiment?

정답·풀이 보기

이 문제는 크게 두 단계가 필요하다. 먼저 모르는 증가율 k를 구해야 한다. 그런 다음 그 k의 값을 이용하여 모르는 박테리아 수를 구한다.
공식에서 변수를 찾는다. A=300A0=100k=?t=3 시간A=A0ekt\begin{array}{ccc}A & = & 300 \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & ? \\ t & = & 3\,\text{시간} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}
공식에 값을 대입한다. 300=100ek⋅3300=100{e}^{k\cdot 3}
kk에 대해 푼다. 양변을 100으로 나눈다. 3=e3k\quad 3={e}^{3k}
양변에 자연로그를 취한다.  ln⁡3=ln⁡ e3k\,\ln 3=\ln \,{e}^{3k}
거듭제곱의 성질을 이용한다.  ln⁡3=3kln⁡ e\,\ln 3=3k\ln \,e
간단히 한다.  ln⁡3=3k\,\ln 3=3k
양변을 3으로 나눈다.  ln⁡33=k\,\frac{\ln 3}{3}=k
답을 어림한다. k≈0.366\quad k\approx 0.366
이 증가율을 이용하여 24시간 후의 박테리아 수를 예측한다. A=?A0=100k=ln⁡33t=24 시간A=A0ekt\begin{array}{ccc}A & = & ? \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & \frac{\ln 3}{3} \\ t & = & 24\,\text{시간} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}
값을 대입한다. A=100eln⁡33⋅24A=100{e}^{\frac{\ln 3}{3}\cdot 24}
값을 구한다. A≈656,100A\approx 656,100
이 증가율이라면 박테리아가 656,100마리가 될 것으로 예상할 수 있다.
원본 교재 풀이(영어)

This problem requires two main steps. First we must find the unknown rate, k. Then we use that value of k to help us find the unknown number of bacteria.
Identify the variables in the formula. A=300A0=100k=?t=3 hoursA=A0ekt\begin{array}{ccc}A & = & 300 \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & ? \\ t & = & 3\,\text{hours} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}
Substitute the values in the formula. 300=100ek⋅3300=100{e}^{k\cdot 3}
Solve for kk. Divide each side by 100. 3=e3k\quad 3={e}^{3k}
Take the natural log of each side.  ln⁡3=ln⁡ e3k\,\ln 3=\ln \,{e}^{3k}
Use the Power Property.  ln⁡3=3kln⁡ e\,\ln 3=3k\ln \,e
Simplify.  ln⁡3=3k\,\ln 3=3k
Divide each side by 3.  ln⁡33=k\,\frac{\ln 3}{3}=k
Approximate the answer. k≈0.366\quad k\approx 0.366
We use this rate of growth to predict the number of bacteria there will be in 24 hours. A=?A0=100k=ln⁡33t=24 hoursA=A0ekt\begin{array}{ccc}A & = & ? \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & \frac{\ln 3}{3} \\ t & = & 24\,\text{hours} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}
Substitute in the values. A=100eln⁡33⋅24A=100{e}^{\frac{\ln 3}{3}\cdot 24}
Evaluate. A≈656,100A\approx 656,100
At this rate of growth, they can expect 656,100 bacteria.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.5절 · 6번우리말 번역

저메일의 부모님은 그의 첫 번째 생일에 대학 학비를 위해 $10,000를 투자했습니다. 부모님은 저메일이 18세가 될 때 이 투자금이 $50,000의 가치가 되기를 바랍니다. 이자가 연속적으로 복리로 계산된다면, 이 목표를 이루려면 대략 어느 정도의 성장률이 필요한가요?

다 풀었으면 정답 확인
A=$50,000\quad A=\char36 50,000
P=$10,000\quad P=\char36 10,000
공식에서 변수를 찾는다. r=?\quad r=?
t=17 년\quad t=17\,\text{년}
A=Pert\quad A=P{e}^{rt}
값을 공식에 대입한다. 50,000=10,000er⋅17\quad 50,000=10,000{e}^{r\cdot 17}
rr 에 대해 푼다. 양변을 10,000으로 나눈다. 5=e17r\quad 5={e}^{17r}
양변에 자연로그를 취한다. ln⁡5=ln⁡ e17r\quad \ln 5=\ln \,{e}^{17r}
거듭제곱 성질을 이용한다. ln⁡5=17rln⁡ e\quad \ln 5=17r\ln \,e
간단히 한다. ln⁡5=17r\quad \ln 5=17r
양변을 17로 나눈다. ln⁡517=r\quad \frac{\ln 5}{17}=r
답을 어림한다. r≈0.095\quad r\approx 0.095
백분율로 바꾼다. r≈9.5%\quad r\approx 9.5\%
성장률이 약 9.5%9.5\% 여야 한다.
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