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문제 은행 · 기초 수학 · 대수 · 지수함수와 로그함수

로그함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 10.5절 · 8번우리말 번역

라듐-226의 반감기는 1,590년입니다. 100 mg의 시료가 500년 후에 얼마나 남아 있겠습니까?

영어 원문 보기

The half-life of radium-226 is 1,590 years. How much of a 100 mg sample will be left in 500 years?

정답·풀이 보기

이 문제는 두 가지 주요 단계가 필요하다. 먼저 붕괴 상수 k를 구해야 한다. 100-mg으로 시작하면 반감기에는 50-mg이 남는다. 이 정보를 이용하여 k를 구한다. 그런 다음 그 k의 값을 이용하여 500년 후에 남게 될 시료의 양을 구한다.
공식에서 변수를 파악한다.  A=50A0=100k=?t=1590yearsA=A0ekt\,\begin{array}{ccc}A & = & 50 \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & ? \\ t & = & 1590\text{years} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}
공식에 값을 대입한다. 50=100ek⋅1590\quad 50=100{e}^{k\cdot 1590}
kk에 대해 푼다. 양변을 100으로 나눈다. 0.5=e1590k\quad 0.5={e}^{1590k}
양변에 자연로그를 취한다. ln⁡0.5=ln⁡ e1590k\ln 0.5=\ln \,{e}^{1590k}
거듭제곱 성질을 이용한다. ln⁡0.5=1590kln⁡ e\ln 0.5=1590k\ln \,e
간단히 한다. ln⁡0.5=1590k\ln 0.5=1590k
양변을 1590으로 나눈다. ln⁡0.51590=k 정확한 답\frac{\ln 0.5}{1590}=k\,\text{정확한 답}
이 증가율을 이용하여 500년 후에 남게 될 양을 예측한다.  A=?A0=100k=ln⁡0.51590t=500yearsA=A0ekt\,\begin{array}{ccc}A & = & ? \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & \frac{\ln 0.5}{1590} \\ t & = & 500\text{years} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}
값을 대입한다. A=100eln⁡0.51590⋅500A=100{e}^{\frac{\ln 0.5}{1590}\cdot 500}
값을 구한다. A≈80.4 mgA\approx 80.4\,\text{mg}
500년 후에는 약 80.4 mg이 남게 된다.
원본 교재 풀이(영어)

This problem requires two main steps. First we must find the decay constant k. If we start with 100-mg, at the half-life there will be 50-mg remaining. We will use this information to find k. Then we use that value of k to help us find the amount of sample that will be left in 500 years.
Identify the variables in the formula.  A=50A0=100k=?t=1590yearsA=A0ekt\,\begin{array}{ccc}A & = & 50 \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & ? \\ t & = & 1590\text{years} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}
Substitute the values in the formula. 50=100ek⋅1590\quad 50=100{e}^{k\cdot 1590}
Solve for kk. Divide each side by 100. 0.5=e1590k\quad 0.5={e}^{1590k}
Take the natural log of each side. ln⁡0.5=ln⁡ e1590k\ln 0.5=\ln \,{e}^{1590k}
Use the Power Property. ln⁡0.5=1590kln⁡ e\ln 0.5=1590k\ln \,e
Simplify. ln⁡0.5=1590k\ln 0.5=1590k
Divide each side by 1590. ln⁡0.51590=k exact answer\frac{\ln 0.5}{1590}=k\,\text{exact answer}
We use this rate of growth to predict the amount that will be left in 500 years.  A=?A0=100k=ln⁡0.51590t=500yearsA=A0ekt\,\begin{array}{ccc}A & = & ? \\ {A}_{0} & = & 100 \\ k & = & \frac{\ln 0.5}{1590} \\ t & = & 500\text{years} \\ A & = & {A}_{0}{e}^{kt}\end{array}
Substitute in the values. A=100eln⁡0.51590⋅500A=100{e}^{\frac{\ln 0.5}{1590}\cdot 500}
Evaluate. A≈80.4 mgA\approx 80.4\,\text{mg}
In 500 years there would be approximately 80.4 mg remaining.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.5절 · 58번우리말 번역

앨리스는 새 직장의 입사 보너스로 30세에 $15,000\char36 15,000 을 투자합니다. 그녀는 40세가 될 때 이 투자금이 $30,000\char36 30,000 의 가치가 되기를 바랍니다. 이자가 연속으로 복리가 된다면, 목표를 이루려면 대략 어느 정도의 성장률이 필요한가요?

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