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등차수열

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 5번우리말 번역

다섯째 항이 19이고 열한째 항이 37인 수열의 첫째항과 공차를 구하세요. 일반항의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the first term and common difference of a sequence where the fifth term is 19 and the eleventh term is 37. Give the formula for the general term.

정답·풀이 보기

두 항의 값을 알고 있으므로 일반항의 식을 이용하여 연립방정식을 세울 수 있다.
등차수열의 제n항을 나타내는 식 a_n = a_1 + (n-1)d 이다. 여기서 a_n 은 제n항, a_1 은 첫째항, n 은 항의 번호, d 는 공차이다.
a5{a}_{5} 와 a11{a}_{11} 의 값을 알고 있으므로 n=5n=5 와 n=11n=11 을 이용한다. 등차수열의 특정한 항을 나타내는 두 방정식을 보여 주는 그림이다. 첫 번째 식 a_5 = a_1 + (5 - 1)d 는 제5항(a_5)을 나타낸다. 두 번째 식 a_11 = a_1 + (11 - 1)d 는 제11항(a_11)을 나타낸다. 두 식에서 a_1 은 수열의 첫째항, d 는 공차를 뜻한다.
a5=19{a}_{5}=19 와 a11=37{a}_{11}=37 을 대입한다. 등차수열의 첫째항(a_1)과 공차(d)를 구하는 데 쓰이는 두 일차방정식의 연립방정식 19 = a_1 + (5 - 1)d 와 37 = a_1 + (11 - 1)d 이다. 주요 숫자는 빨간색으로 강조되어 있다.
간단히 한다. 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식이 왼쪽에 중괄호로 묶여 있다. 첫 번째 방정식은 19 = a1 + 4d 이고 두 번째 방정식은 37 = a1 + 10d 이다.
위의 방정식에 −1-1 을 곱하여 a1{a}_{1} 항을 소거할 준비를 한다. 두 방정식을 더한다. 연립일차방정식을 푸는 소거법을 보여 주는 그림이다. 두 방정식을 더하면 'a1' 이 소거되어 18 = 6d 가 되고, 이어서 d = 3 이 된다.
d=3d=3 을 첫 번째 방정식에 다시 대입한다. 방정식 19 = a₁ + 4 • 3 이 나타나 있으며, 곱셈 점과 숫자 3은 빨간색이다.
a1{a}_{1} 에 대해 푼다. 두 줄로 나타낸 수학 방정식이다. 첫 번째 줄은 19 = a 아래첨자 1 + 12 이고, 두 번째 줄은 해인 7 = a 아래첨자 1 이다.
a1=7{a}_{1}=7 과 d=3d=3 을 일반항의 식에 이용한다. 등차수열의 제n항을 나타내는 식 a_n = a_1 + (n-1)d 를 보여 주는 그림이다.
값을 대입한다. 수식 a_n = 7 + (n - 1)3 을 보여 주는 그림이다. 이는 등차수열을 나타내며, a_n 은 제n항, 7은 첫째항, 3은 공차이다.
간단히 한다. \quad 식을 간단히 하는 과정을 보여 주는 두 줄의 방정식이다. a_n = 7 + 3n - 3 을 간단히 하면 a_n = 3n + 4 가 된다.
첫째항은 a1=7{a}_{1}=7 이다. 공차는 d=3d=3 이다.
수열의 일반항은 an=3n+4{a}_{n}=3n+4 이다.
원본 교재 풀이(영어)

Since we know two terms, we can make a system of equations using the formula for the general term.
The formula for the nth term of an arithmetic sequence, expressed as a_n = a_1 + (n-1)d, where a_n is the nth term, a_1 is the first term, n is the term number, and d is the common difference.
We know the value of a5{a}_{5} and a11,{a}_{11}, so we will use n=5n=5 and n=11.n=11. This image displays two equations representing specific terms of an arithmetic sequence. The first equation, a_5 = a_1 + (5 - 1)d, calculates the 5th term (a_5). The second equation, a_11 = a_1 + (11 - 1)d, calculates the 11th term (a_11). In both formulas, a_1 represents the first term of the sequence and d represents the common difference.
Substitute in the values, a5=19{a}_{5}=19 and a11=37.{a}_{11}=37. A system of two linear equations, 19 = a_1 + (5 - 1)d and 37 = a_1 + (11 - 1)d, used to find the first term (a_1) and common difference (d) of an arithmetic sequence. Key numbers are highlighted in red.
Simplify. A system of two linear equations is presented, with the first equation being 19 = a1 + 4d and the second equation being 37 = a1 + 10d, enclosed by a brace on the left.
Prepare to eliminate the a1{a}_{1} term by multiplying the top equation by −1.-1. Add the equations. This image illustrates the elimination method for solving a system of linear equations. By adding the two equations, 'a1' is eliminated, leading to 18 = 6d, and subsequently d = 3.
Substituting d=3d=3 back into the first equation. The equation 19 = a₁ + 4 • 3 is displayed, where the dot multiplication sign and the number 3 are colored red.
Solve for a1.{a}_{1}. A mathematical equation shown in two lines. The first line is 19 = a sub 1 + 12, and the second line is the solution, 7 = a sub 1.
Use the formula with a1=7{a}_{1}=7 and d=3.d=3. The image shows the formula for the nth term of an arithmetic progression, which is a_n = a_1 + (n-1)d.
Substitute in the values. The image shows the mathematical formula a_n = 7 + (n - 1)3, which represents an arithmetic sequence where a_n is the nth term, 7 is the first term, and 3 is the common difference.
Simplify. \quad Two lines of mathematical equations showing the simplification of an algebraic expression: a_n = 7 + 3n - 3 is simplified to a_n = 3n + 4.
The first term is a1=7.{a}_{1}=7. The common difference is d=3.d=3.
The general term of the sequence is an=3n+4.{a}_{n}=3n+4.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 8번우리말 번역

합을 구하세요: ∑i=125(4i+7).\sum_{i=1}^{25}(4i+7).

다 풀었으면 정답 확인

합을 구하기 위해 공식 Sn=n2(a1+an){S}_{n}=\frac{n}{2}({a}_{1}+{a}_{n}) 을 사용한다. n=25n=25 임은 알고 있지만, 합의 공식을 사용하려면 a1{a}_{1} 과 an{a}_{n} 을 구해야 한다.
합의 기호(시그마)를 풀어서 쓴다. i=1부터 25까지 (4i + 7)의 합을 나타내는 급수의 식을 풀어서 쓴 등식으로, 처음 몇 개의 항과 마지막 항이 나타나 있다.
간단히 한다. i=1부터 25까지 4i + 7의 합을 풀어서 쓴 등식으로, 그 결과 급수 11 + 15 + 19 + ... + 107 이 된다.
a1{a}_{1} 을 확인한다. 흰색 배경에 검은 글씨로 'a_1 = 11'이라고 적힌 등식이 나타나 있다.
a25{a}_{25} 를 확인한다. 흰색 바탕에 'a_25 = 107', 즉 'a 아래첨자 25는 107과 같다'는 식이 나타나 있다.
n=25,n=25, a1=11,{a}_{1}=11, a25=107{a}_{25}=107 임을 알고 있으므로 합의 공식을 사용한다. 흰색 배경에 등차수열의 합을 구하는 데 쓰이는 공식 S_n = n/2 (a_1 + a_n) 이 나타나 있으며, 이는 S 아래첨자 n은 n을 2로 나눈 값에 a 아래첨자 1과 a 아래첨자 n의 합을 곱한 것과 같다는 뜻이다.
값을 대입한다. S_25 = 25/2 × (11 + 107) 을 나타내는 등식으로, 등차급수의 합을 나타낸다. 즉 S_25는 25를 2로 나눈 값에 11과 107의 합을 곱한 것과 같다.
간단히 한다. 흰색 배경에 검은 글씨로 S 아래첨자 25는 25/2 곱하기 118과 같다는 등식 S_25 = 25/2 × 118 이 나타나 있다.
간단히 한다. 흰색 배경에 검은 글씨로 등식 S₂₅ = 1,475 가 나타나 있으며, 첨자가 붙은 변수의 합 또는 값을 나타낸다.
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