다항식의 연산 연습문제 — OpenStax Intermediate Algebra · 12.4절 · 6번

OpenStax Intermediate Algebra · 12.4절 · 6번우리말 번역

이항정리를 이용하여 ${(x-2)}^{5}$ 을 전개하세요.

영어 원문 보기

Use the Binomial Theorem to expand ${(x-2)}^{5}.$

정답·풀이 보기

식의 형태에서 a 와 b 를 찾는다.

이 그림은 x 빼기 2의 5제곱을 나타낸다.

이 식에서 $a=x$ 이고 $b=-2$ 이다.

이항정리를 이용한다.

${(a+b)}^{n}=\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right){a}^{n}+\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right){b}^{n}$

$a=x,$ $b=-2,$ $n=5$ 를 대입한다.

${(x-2)}^{5}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 0\end{array}\right){x}^{5}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right){x}^{5-1}{(-2)}^{1}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 2\end{array}\right){x}^{5-2}{(-2)}^{2}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 3\end{array}\right){x}^{5-3}{(-2)}^{3}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 4\end{array}\right){x}^{5-4}{(-2)}^{4}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 5\end{array}\right){(-2)}^{5}$

지수를 간단히 하고 계수의 값을 구한다. $\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n,$ $\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1,$ $\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1$ 임을 기억하자.

$\begin{array}{c} \\ \\ {(x-2)}^{5}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 0\end{array}\right){x}^{5}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right){x}^{4}{(-2)}^{}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 2\end{array}\right){x}^{3}{(-2)}^{2}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 3\end{array}\right){x}^{2}{(-2)}^{3}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 4\end{array}\right)x{(-2)}^{4}+\left(\begin{array}{c}5 \\ 5\end{array}\right){(-2)}^{5} \\ {(x-2)}^{5}=1{x}^{5}+5(-2){x}^{4}+\frac{5!}{2!\cdot 3!}{(-2)}^{2}{x}^{3}+\frac{5!}{3!\cdot 2!}{(-2)}^{3}{x}^{2}+\frac{5!}{4!\cdot 1!}{(-2)}^{4}x+1{(-2)}^{5} \\ {(x-2)}^{5}={x}^{5}+5(-2){x}^{4}+10\cdot 4\cdot {x}^{3}+10(-8){x}^{2}+5\cdot 16\cdot x+1(-32) \\ {(x-2)}^{5}={x}^{5}-10{x}^{4}+40{x}^{3}-80{x}^{2}+80x-32\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

We identify the a and b of the pattern.

This figure shows x minus 2 to the power of 5.

In our pattern, $a=x$ and $b=-2.$

We use the Binomial Theorem.

Substitute in the values $a=x,$ $b=-2,$ and $n=5.$

Simplify the exponents and evaluate the coefficients. Remember, $\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n,$ $\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1,$ $\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 12.4절 · 7번우리말 번역

이항정리를 이용하여 ${(2x-3y)}^{4}$ 을 전개하세요.

다 풀었으면 정답 확인

패턴의 a 와 b 를 찾는다.

이 그림은 2x-3y 의 4제곱 꼴의 식에서, a 더하기 b의 n제곱 꼴의 a 와 b 를 어떻게 찾는지 보여 준다.

이 식에서 $a=2x$ 이고 $b=-3y$ 이다.

이항정리를 이용한다.

$a=2x,$ $b=-3y$ 그리고 $n=4$ 의 값을 대입한다.

${(2x-3y)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){(2x)}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){(2x)}^{4-1}{(-3y)}^{1}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){(2x)}^{4-2}{(-3y)}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){(2x)}^{4-3}{(-3y)}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){(-3y)}^{4}$

지수를 간단히 한다.

${(2x-3y)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){(2x)}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){(2x)}^{3}{(-3y)}^{1}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){(2x)}^{2}{(-3y)}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){(2x)}^{1}{(-3y)}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){(-3y)}^{4}$

계수의 값을 구한다. $\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n,\,\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1,\,\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1$ 임을 기억한다.

${(2x-3y)}^{4}=1{(2x)}^{4}+4{(2x)}^{3}{(-3y)}^{1}+\frac{4!}{2!(2)!}{(2x)}^{2}{(-3y)}^{2}+\frac{4!}{3!(4-3)!}{(2x)}^{1}{(-3y)}^{3}+1{(-3y)}^{4}$

${(2x-3y)}^{4}=16{x}^{4}+4\cdot 8{x}^{3}(-3y)+6(4{x}^{2})(9{y}^{2})+4(2x)(-27{y}^{3})+81{y}^{4}$

${(2x-3y)}^{4}=16{x}^{4}-96{x}^{3}y+216{x}^{2}{y}^{2}-216x{y}^{3}+81{y}^{4}$

이 문제로 이어서 풀기

# 다항식의 연산계산자동 분류