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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 방정식과 부등식

여러 가지 부등식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 4.7절 · 7번우리말 번역

크리스티는 길거리 축제의 부스에서 자신의 사진을 판매한다. 하루를 시작할 때, 그녀는 부스에 전시할 사진을 적어도 25장 갖추려고 한다. 전시하는 작은 사진은 한 장당 $4가 들고 $10이 든다. 그녀는 전시할 사진에 $200보다 많이 쓰고 싶지 않다.

ⓐ 이 상황을 나타내는 연립부등식을 쓰세요. ⓑ 연립부등식의 그래프를 그리세요. ⓒ 작은 사진 10장과 큰 사진 20장을 전시할 수 있는지 판단하세요. ⓓ 작은 사진 20장과 큰 사진 10장을 전시할 수 있는지 판단하세요.

영어 원문 보기

Christy sells her photographs at a booth at a street fair. At the start of the day, she wants to have at least 25 photos to display at her booth. Each small photo she displays costs her $4 and each large photo costs her $10. She doesn’t want to spend more than $200 on photos to display.

ⓐ Write a system of inequalities to model this situation. ⓑ Graph the system. ⓒ Could she display 10 small and 20 large photos? ⓓ Could she display 20 small and 10 large photos?

정답·풀이 보기

ⓐ
x=작은 사진의 수x=\text{작은 사진의 수} 라 하자.
y=큰 사진의 수\quad y=\text{큰 사진의 수}
연립방정식을 구하기 위해 주어진 정보를 식으로 나타낸다.
그녀는 사진을 적어도 25장 갖추려고 한다.\quad \text{그녀는 사진을 적어도 25장 갖추려고 한다.}
작은 사진의 수와 큰 사진의 수의 합은 적어도 25이어야 한다.\quad \text{작은 사진의 수와 큰 사진의 수의 합은 적어도 25이어야 한다.}
x+y≥25x+y\ge 25
작은 사진 한 장당 $ 4, 큰 사진 한 장당 $ 10이 들며 총 $ 200을 넘지 않아야 한다\quad \text{작은 사진 한 장당 \char36 4, 큰 사진 한 장당 \char36 10이 들며 총 \char36 200을 넘지 않아야 한다}
4x+10y≤2004x+10y\le 200
작은 사진의 수는 0보다 크거나 같아야 한다.\quad \text{작은 사진의 수는 0보다 크거나 같아야 한다.}
x≥0x\ge 0
큰 사진의 수는 0보다 크거나 같아야 한다.\quad \text{큰 사진의 수는 0보다 크거나 같아야 한다.}
y≥0y\ge 0
연립방정식을 얻었다.
{x+y≥254x+10y≤200x≥0y≥0\quad \left\{\begin{array}{l}x+y\ge 25 \\ 4x+10y\le 200 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{array}\right.\quad

ⓑ

x≥0x\ge 0 이고 y≥0y\ge 0 이므로(둘 다 0보다 크거나 같다) 모든 해는 제1사분면에 있다. 따라서 그래프는 제1사분면만 나타낸다.
x+y≥25x+y\ge 25 의 그래프를 그리려면 x+y=25x+y=25 의 그래프를 실선으로 그린다. 시험점으로 (0, 0)을 택한다. 이 점은 부등식을 참이 되게 하지 않으므로, 점 (0, 0)을 포함하지 않는 쪽을 (빨간색으로) 색칠한다. 4x+10y≤2004x+10y\le 200 의 그래프를 그리려면 4x+10y=2004x+10y=200 의 그래프를 실선으로 그린다. 시험점으로 (0, 0)을 택한다. 이 점은 부등식을 참이 되게 하므로, 점 (0, 0)을 포함하는 쪽을 (파란색으로) 색칠한다. 좌표평면 위의 그래프에 오른쪽 아래로 향하는 두 직선이 있으며, 각각 일차부등식을 나타낸다. 각 부등식의 해는 따로 색칠된 영역으로 표시되어 있고, 두 영역이 겹치는 부분은 더 진하게 칠해져 있어 조건을 모두 만족하는 영역을 나타낸다.

연립부등식의 해는 그래프에서 가장 진하게 색칠된 영역이다. 진하게 색칠된 부분과 맞닿은 경계선 부분은 xx축 위의 (25, 0)부터 (55, 0)까지의 점들과 마찬가지로 해에 포함된다.

ⓒ 작은 사진 10장과 큰 사진 20장이 가능한지 판단하려면, 그래프에서 점 (10, 20)이 해의 영역에 있는지 살펴본다. 이 점이 두 식의 해인지 직접 대입하여 확인할 수도 있다.

해가 아니므로, 크리스티는 작은 사진 10장과 큰 사진 20장을 전시할 수 없다.

ⓓ 작은 사진 20장과 큰 사진 10장이 가능한지 판단하려면, 그래프에서 점 (20, 10)이 해의 영역에 있는지 살펴본다. 이 점이 두 식의 해인지 직접 대입하여 확인할 수도 있다.

해이므로, 크리스티는 작은 사진 20장과 큰 사진 10장을 전시할 수 있다.

각 부등식에 값을 대입하여 가능한 해를 확인할 수도 있음에 주목한다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ
Let x=the number of small photos.x=\text{the number of small photos}.
y=the number of large photos\quad y=\text{the number of large photos}
To find the system of equations translate the information.
She wants to have at least 25 photos.\quad \text{She wants to have at least 25 photos.}
The number of small plus the number of large should be at least 25.\quad \text{The number of small plus the number of large should be at least 25.}
x+y≥25x+y\ge 25
$ 4 for each small and $ 10 for each large must be no more than $ 200\quad \text{\char36 4 for each small and \char36 10 for each large must be no more than \char36 200}
4x+10y≤2004x+10y\le 200
The number of small photos must be greater than or equal to 0.\quad \text{The number of small photos must be greater than or equal to 0.}
x≥0x\ge 0
The number of large photos must be greater than or equal to 0.\quad \text{The number of large photos must be greater than or equal to 0.}
y≥0y\ge 0
We have our system of equations.
{x+y≥254x+10y≤200x≥0y≥0\quad \left\{\begin{array}{l}x+y\ge 25 \\ 4x+10y\le 200 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{array}\right.\quad

ⓑ

Since x≥0x\ge 0 and y≥0y\ge 0 (both are greater than or equal to) all solutions will be in the first quadrant. As a result, our graph shows only quadrant one.
To graph x+y≥25,x+y\ge 25, graph x+y=25x+y=25 as a solid line. Choose (0, 0) as a test point. Since it does not make the inequality true, shade (red) the side that does not include the point (0, 0). To graph 4x+10y≤200,4x+10y\le 200, graph 4x+10y=2004x+10y=200 as a solid line. Choose (0, 0) as a test point. Since it does make the inequality true, shade (blue) the side that include the point (0, 0). A graph on a coordinate plane shows two downward-sloping lines representing linear inequalities. Individual shaded regions highlight their solutions, with a darker overlapping area indicating the feasible region.

The solution of the system is the region of the graph that is shaded the darkest. The boundary line sections that border the darkly-shaded section are included in the solution as are the points on the x-axis from (25, 0) to (55, 0).

ⓒ To determine if 10 small and 20 large photos would work, we look at the graph to see if the point (10, 20) is in the solution region. We could also test the point to see if it is a solution of both equations.

It is not, Christy would not display 10 small and 20 large photos.

ⓓ To determine if 20 small and 10 large photos would work, we look at the graph to see if the point (20, 10) is in the solution region. We could also test the point to see if it is a solution of both equations.

It is, so Christy could choose to display 20 small and 10 large photos.

Notice that we could also test the possible solutions by substituting the values into each inequality.

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