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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 다항식

나머지정리와 인수정리

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OpenStax Intermediate Algebra · 5.4절 · 5번우리말 번역

몫을 구하세요: (x4−x2+5x−6)÷(x+2).({x}^{4}-{x}^{2}+5x-6)\div (x+2).

영어 원문 보기

Find the quotient: (x4−x2+5x−6)÷(x+2).({x}^{4}-{x}^{2}+5x-6)\div (x+2).

정답·풀이 보기

피제수에 x3{x}^{3} 항이 없음에 주목한다. 자리를 채우기 위해 0x30{x}^{3} 을 넣는다.
다항식 (x^4 - x^2 + 5x - 6)을 이항식 (x + 2)로 나누는 나눗셈을 나타낸 수식이다.
긴 나눗셈 꼴로 쓴다. 피제수를 내림차순으로 정리하고, 빠진 항 자리에는 0을 넣은 항을 채워 둔다. x^4 + 0x^3 - x^2 + 5x - 6을 x + 2로 나누는 다항식의 긴 나눗셈 준비 단계를 보여 준다. 다항식의 몫과 나머지를 구할 때 흔히 쓰는 방법이다.
x4{x}^{4} 을 xx 로 나눈다. 그 답 x3{x}^{3} 을 몫의 x3{x}^{3} 항 위에 쓴다. x3{x}^{3} 에 x+2x+2 를 곱한다. 동류항끼리 줄을 맞춘다. 뺀 뒤 그 아래 항을 내려 쓴다. 다항식의 긴 나눗셈의 한 단계로, x^4 + 0x^3 - x^2 + 5x - 6을 x + 2로 나눈다. x^4 + 0x^3에서 (x^4 + 2x^3)을 빼서 -2x^3 - x^2을 얻는 과정을 보여 준다. 부호를 바꾸어 더하라는 메모가 붙어 있다.
−2x3-2{x}^{3} 을 xx 로 나눈다. 그 답 −2x2-2{x}^{2} 을 몫의 x2{x}^{2} 항 위에 쓴다. −2x2-2{x}^{2} 에 x+1x+1 을 곱한다. 동류항끼리 줄을 맞춘다. 뺀 뒤 이어지는 항을 내려 쓴다. x^4 - x^2 + 5x - 6을 x + 2로 나누는 다항식의 긴 나눗셈 과정을 단계별로 안내하는 그림이다. 항을 빼는 부분이 강조되어 있으며, 부호를 바꾸어 더하면 도움이 된다는 설명이 있다.
3x23{x}^{2} 을 xx 로 나눈다. 그 답 3x3x 를 몫의 xx 항 위에 쓴다. 3x3x 에 x+1x+1 을 곱한다. 동류항끼리 줄을 맞춘다. 뺀 뒤 이어지는 항을 내려 쓴다. 다항식의 긴 나눗셈을 단계별 예시로 보여 주는 그림이다. 계산 과정에서 항을 직접 빼는 대신 부호를 바꾸어 더하면 도움이 된다는 안내가 있다.
−x-x 를 xx 로 나눈다. 그 답 −1-1 을 몫의 상수항 위에 쓴다. −1-1 에 x+1x+1 을 곱한다. 동류항끼리 줄을 맞춘다. 부호를 바꾸어 더한다. 나머지는 나누는 식을 분모로 하는 분수로 나타낸다. x^4 - x^2 + 5x - 6을 x + 2로 나누는 다항식의 긴 나눗셈 과정을 보여 주는 그림이다. 뺄셈을 할 때 부호를 바꾸라는 안내가 함께 있다.
검산하려면 (x+2)(x3−2x2+3x−1−4x+2)(x+2)\left({x}^{3}-2{x}^{2}+3x-1-\frac{4}{x+2}\right) 을 계산한다. 그 결과는 x4−x2+5x−6{x}^{4}-{x}^{2}+5x-6 이어야 한다.
원본 교재 풀이(영어)

Notice that there is no x3{x}^{3} term in the dividend. We will add 0x30{x}^{3} as a placeholder.
A mathematical expression showing the division of a polynomial (x^4 - x^2 + 5x - 6) by a binomial (x + 2).
Write it as a long division problem. Be sure the dividend is in standard form with placeholders for missing terms. A polynomial long division setup, showing x^4 + 0x^3 - x^2 + 5x - 6 being divided by x + 2, commonly used to find quotients and remainders of polynomial expressions.
Divide x4{x}^{4} by x.x. Put the answer, x3,{x}^{3}, in the quotient over the x3{x}^{3} term. Multiply x3{x}^{3} times x+2.x+2. Line up the like terms. Subtract and then bring down the next term. A step in polynomial long division where x^4 + 0x^3 - x^2 + 5x - 6 is divided by x + 2, showing the subtraction of (x^4 + 2x^3) from x^4 + 0x^3 to get -2x^3 - x^2. A note suggests changing signs and adding.
Divide −2x3-2{x}^{3} by x.x. Put the answer, −2x2,-2{x}^{2}, in the quotient over the x2{x}^{2} term. Multiply −2x2-2{x}^{2} times x+1.x+1. Line up the like terms Subtract and bring down the next term. A visual guide to polynomial long division, showing the steps to divide x^4 - x^2 + 5x - 6 by x + 2. It highlights the subtraction of terms, noting that changing signs and adding can be helpful.
Divide 3x23{x}^{2} by x.x. Put the answer, 3x,3x, in the quotient over the xx term. Multiply 3x3x times x+1.x+1. Line up the like terms. Subtract and bring down the next term. This image illustrates polynomial long division, providing a step-by-step example. A helpful tip suggests changing the signs and adding instead of directly subtracting terms during the process.
Divide −x-x by x.x. Put the answer, −1,-1, in the quotient over the constant term. Multiply −1-1 times x+1.x+1. Line up the like terms. Change the signs, add. Write the remainder as a fraction with the divisor as the denominator. This image illustrates the process of polynomial long division, dividing x^4 - x^2 + 5x - 6 by x + 2, with a helpful reminder to change signs when subtracting.
To check, multiply (x+2)(x3−2x2+3x−1−4x+2)(x+2)\left({x}^{3}-2{x}^{2}+3x-1-\frac{4}{x+2}\right). The result should be x4−x2+5x−6.{x}^{4}-{x}^{2}+5x-6.

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다음 문제에서 유리근 정리를 이용하여 다항 방정식을 푸세요.

2x3−3x2−18x−8=02{x}^{3}-3{x}^{2}-18x-8=0

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{−2, 4, −12}\{-2,\,4,\,-\frac{1}{2}\}

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